《小波分析》课程教学讲义（Wavelets）第四章 多分辨率分析与小波

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D Q. Dai, 2003 第四章多分辨率分析与小波 本章将讨论小波基的构造。我们将主要利用多分辨率分析这一工具。在第一节中将引入多分 辨率分析的定义,并给出两个经典的例子,Har基和 Shannon基。第二节将介绍平移不变子 空间的概念和 Riesz基的刻划,并给出正交化方法。第三节和第四节分别介绍算尺度方程和 滤波函数。第五节将介绍尺度函数的平移系标准正交的充分必要条件。第六节将讨论平移与 伸缩族完备的条件。第七节将讨论滤波器系数的长度和双尺度方程解的支集的关系。第八节 给出求解双尺度方程的两种直接方法。第九节将给出小波函数的构造。第十节将给出样条小 波基( Battle- Lemarie)和 Meyer小波基。第十一节将给出 Daubechies小波基. 1.多辨率分析 多分辨率分析MRA( Multi-resolution Analysis是S.Mllt与Y. Meyer于1986年左右共同引入 的。这一程序是构造小波基的一种有效的方法。I. Daubechies在1988年成功的构造了具有紧 支集的光滑小波基 定义:设{V}是L(R)的闭子空间族,满足 CVo CVi (2)UV=L2(R),∩V={0}, (3)f(t)∈V分∫(21)∈V+1, (4)f(t)∈W兮∫(t-k)∈W,k∈Z, (5)存在φ∈V,使得{y(t-k)}k构成V的一个标准正交基。 则称{V}是L2的MRA 通常称φ为尺度函数( scaling function,或有时称为父小波( father wavelet)。 注:有时,将条件中的标准正交基改为 Riesz基,甚至框架 我们首先给出几个例子。 例1:Haar基 设V={f:∫∈L,且在k,k+1)上取常数值,k∈Z}。而 V={f(2):f(t) 则(1)(2)(3)(4)是显然的。令 p()=x0.1( 则{φ(t-k)}是V的标准正交基,故(5)也成立。这是最早出现的小波,它没有光滑性 例2: Shannon基。 设V={f:f∈L2,supc[-x,}定义V为的2伸缩,即 v={0):2)∈tb}={f:/∈r2mc-2x,2

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 1 第四章 多分辨率分析与小波 本章将讨论小波基的构造。我们将主要利用多分辨率分析这一工具。在第一节中将引入多分 辨率分析的定义，并给出两个经典的例子，Haar基和Shannon基。第二节将介绍平移不变子 空间的概念和Riesz基的刻划，并给出正交化方法。第三节和第四节分别介绍算尺度方程和 滤波函数。第五节将介绍尺度函数的平移系标准正交的充分必要条件。第六节将讨论平移与 伸缩族完备的条件。第七节将讨论滤波器系数的长度和双尺度方程解的支集的关系。第八节 给出求解双尺度方程的两种直接方法。第九节将给出小波函数的构造。第十节将给出样条小 波基（Battle－Lemarie）和Meyer小波基。第十一节将给出Daubechies小波基. 1． 多辨率分析 多分辨率分析MRA(Multi-resolution Analysis)是S. Mallat与Y. Meyer于1986年左右共同引入 的。这一程序是构造小波基的一种有效的方法。I. Daubechies在1988年成功的构造了具有紧 支集的光滑小波基。 定义：设{Vj}是L 2 (R)的闭子空间族，满足 (1) · · · V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ · · · , (2) ∪jVj = L 2 (R), ∩jVj = {0}, (3) f(t) ∈ Vj ⇔ f(2t) ∈ Vj+1, (4) f(t) ∈ V0 ⇔ f(t − k) ∈ V0, ∀k ∈ Z, (5) 存在ϕ ∈ V0，使得{ϕ(t − k)}k构成V0的一个标准正交基。 则称{Vj}是L 2的MRA。 通常称ϕ为尺度函数（scaling function), 或有时称为父小波（father wavelet）。 注：有时，将条件中的标准正交基改为Riesz基，甚至框架。 我们首先给出几个例子。 例1：Haar基。 设V0 = {f : f ∈ L 2 , 且在[k, k + 1) 上取常数值, k ∈ Z}。而 Vj = © f(2j t) : f(t) ∈ V0 ª . 则(1)(2)(3)(4)是显然的。令 ϕ(t) = χ[0,1](t). 则{ϕ(t − k)}是V0的标准正交基，故（5）也成立。这是最早出现的小波，它没有光滑性。 例2：Shannon基。 设V0 = n f : f ∈ L 2 ,supp ˆf ⊂ [−π, π] o . 定义Vj为V0的2 j伸缩，即 Vj = © f(t) : f(2−j t) ∈ V0 ª = n f : f ∈ L 2 ,supp ˆf ⊂ [−2 jπ, 2 jπ] o

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 2 显然条件(1)(3)是满足的。对条件(4),可由公式f(t-k)=f()ek推得。关于条件 (5),由取样定理,对任何f∈V,有 (t-k) 令y(t)=sint/(t),则上式表明,任意∫可由φ(t)及其平移线性表出。因 )=ks, 0,其它 由 Plancherel公式,得 广+(=-n)(=mi=7(-m(a)md 2∫cn-m d 所以{y(t-k)}k∈z是V的标准正交基 关于条件(2),第二式是显然的。对第一式,设∫∈L2,在 Fourier域,令 f()=∑() 其中 f()=f(u)x2m2+11( 显然f∈V。这时,我们有 f()=∑() 这证明(2)的第一式。故我们得到一个MRA 对于Har函数y(t)=x.n(t)与 Shannon函数g(t)=sint/(xt),它们虽然都能满足MRA的 要求,但前者不光滑,后者局部性太差。我们的目标是构造局部性好的光滑函数。 2.平移不变子空间 设∫,g∈L2(R),定义方括号积 ,9(t)=∑f(+2xa)(t+2ra) 引理:上式几乎处处绝对收敛,且[f,g]∈D0.,2]为周期函数,其 Fourier系数是

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 2 显然条件(1)(3)是满足的。对条件（4），可由公式f\(t − k) = ˆf(ω)e −ikω推得。关于条件 （5），由取样定理，对任何f ∈ V0，有 f(t) = X k f(k) sin π(t − k) π(t − k) . 令ϕ(t) = sin πt/(πt)，则上式表明，任意f可由ϕ(t)及其平移线性表出。因 ϕˆ(ω) = ( 1, |ω| ≤ π, 0, 其它. 由Plancherel公式，得 R +∞ −∞ ϕ(t − n)ϕ(t − m)dt = 1 2π + R∞ −∞ ϕˆ(ω)e −inωϕˆ(ω)e −imωdω = 1 2π Rπ −π e −i(n−m)ωdω = δn,m. 所以{ϕ(t − k)}k∈Z是V0的标准正交基。 关于条件（2），第二式是显然的。对第一式，设f ∈ L 2，在Fourier域，令 ˆf (ω) = X j ˆfj (ω) 其中 ˆfj (ω) = ˆf (ω) χ(2jπ,2 j+1π] (|ω|). 显然fj ∈ Vj。这时，我们有 f (t) = X j fj (t) 这证明（2）的第一式。故我们得到一个MRA。 对于Haar函数ϕ (t) = χ[0,1] (t)与Shannon函数ϕ (t) = sin πt/(πt)，它们虽然都能满足MRA的 要求，但前者不光滑，后者局部性太差。我们的目标是构造局部性好的光滑函数。 2． 平移不变子空间 设f, g ∈ L 2 (R),，定义方括号积 [f, g](t) = X α f(t + 2πα)g(t + 2πα). 引理：上式几乎处处绝对收敛，且[f, g] ∈ L 1 [0, 2π]为周期函数，其Fourier系数是

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 f(tg(t-k)dt f, g(w)e 证明:由 ∑|f(t+2xl)‖lg(t+2xl)|dt ∑|(+2/≈ ∑l(+2r2)dt ≤(∑|f(t+2r)2d)12(∫∑lg(t+2x)2d)/2 ∫|f(t)2dt lg(t)2dt 证得前两个断言。现看 Fourier系数 ∫f(t)gy(t-k)dt 2∫f(u)9(a)edu 27L+2T 2∑∫f(u)()ekdu 4∫∑f(+2x1)(u+2r1)edu 故得证 推论:{y(t-k)}kz是标准正交系,当且仅当,)=1,a,e,即 ∑(u+27k)2=1,ae (1) 设函数φ∈L2(R)。用S(y)表示由φ生成的整平移不变子空间,即 S(9)={f:f (t-k),{ck}为有限序列 练习:设∫,g∈L2,导出S()与S(g)正交的充要条件 注意到,{9(t-k)}kez不必是标准正交系,甚至可以不是它生成的S(9)的 Riesz基。我 们有如下表示定理 定理1:空间S(y)可表示为 s()={f:∫∈2(R),=m,r()a.e.有限值,以2x为周期,使rp∈L2(R)

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 3 Z +∞ −∞ f(t)g(t − k)dt = 1 2π Z 2π 0 [ ˆf, gˆ](ω)e ikωdω 证明：由 R 2π 0 P l |f(t + 2πl)||g(t + 2πl)|dt ≤ R 2π 0 µP l |f(t + 2πl)| 2 ¶1/2 µP l |g(t + 2πl)| 2 ¶1/2 dt ≤ ( R 2π 0 P l |f(t + 2πl)| 2dt) 1/2 ( R 2π 0 P l |g(t + 2πl)| 2dt) 1/2 = µ + R∞ −∞ |f(t)| 2dt¶1/2 µ + R∞ −∞ |g(t)| 2dt¶1/2 证得前两个断言。现看Fourier系数 + R∞ −∞ f(t)g(t − k)dt = 1 2π + R∞ −∞ ˆf(ω)gˆ(ω)e ikωdω = 1 2π P l 2πl R +2π 2πl ˆf(ω)gˆ(ω)e ikωdω = 1 2π R 2π 0 P l ˆf(ω + 2πl)gˆ(ω + 2πl)e ikωdω 故得证。 推论：{ϕ(t − k)}k∈Z是标准正交系，当且仅当[ ˆϕ, ϕˆ](ω) = 1, a.e., 即 X k |ϕˆ(ω + 2πk)| 2 = 1,a.e. (1) 设函数ϕ ∈ L 2 (R)。用S (ϕ)表示由ϕ生成的整平移不变子空间，即 S(ϕ) = ( f : f = X k ckϕ(t − k), {ck} 为有限序列 ) . 练习：设f, g ∈ L 2，导出S (f)与S (g)正交的充要条件。 注意到，{ϕ (t − k)}k∈Z不必是标准正交系，甚至可以不是它生成的S (ϕ)的Riesz基。我 们有如下表示定理。 定理1：空间S (ϕ)可表示为 S (ϕ) = n f : f ∈ L 2 (R), ˆf = τϕ, τ ˆ (ω) a.e. 有限值，以2π 为周期，使τϕˆ ∈ L 2 (R) o

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 记重=引在四上,=同[小 证:见龙p.64 我们现在讨论S(y)中另一函数φ及其平移所生成的线性平移不变子空间S(v) 定理2:设∈S(y),则下列条件等价: (1)S(v)=S(g), (2)supp=supp2(差零测集) (3)supp,=spp|,(差零测集) 证:(1)→(2)。则v=n1,=n2,所以supp=supp (2)→(1)。由于如∈S(y),故存在r使=Ty。由于在 suppan上不为零,故p=r-1, 所以φ∈S(v)。故S(v)=S(y (2)→(3)。设u∈[.,2,,()=0,则(u+2xk)=0,Wk,故亦有v(u+27k)= 0k。从而supp,supp|v,。反向包含可类似的证明 ()().我们有=,所以叫p[,小mP,列,设的∈R,使9(n)≠0 但()=0,则必有r(uo)=0。故由r的周期性,有v(u+2rk)=r(uo)p(uo+2rk)= 0k∈z,这样,有v,()=0,故,(∞)=0,但这与(∞)≠0矛盾。从 而 supp C suppy 序列{(t-k)}k∈z不一定是S()的Resz基。这由下面的条件所刻划 定理3:设φ∈L2(R)则{p(-k)}kez是S()的 Riesz基,当且仅当存在正常数A,B使得 A≤1,(a)=∑|(+2xk)2≤B,ae 证:设条件(2)成立。对V{ck}∈P,令∫(t)=∑c9(t-k),r(u)=∑cke-,则 /P=2 广|()d Mm T(w)l lp(w)l dw 2x|r()2[p,引](u) 由于{∈}是L210.27的标准正交基,故有 r(u)2d=2x∑|a2 从(2)式推得 A∑s∑e(t-)≤B∑aP

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 4 记Φ = [ ˆϕ, ϕˆ]，在suppΦ上，τ = [ ˆϕ, ϕˆ] −1 h ˆf, ϕˆ i 。 证：见龙p.64。 我们现在讨论S (ϕ)中另一函数ϕ及其平移所生成的线性平移不变子空间S (ψ)。 定理2：设ψ ∈ S (ϕ)，则下列条件等价： （1）S (ψ) = S (ϕ)， （2）sup pψˆ = sup pϕˆ （差零测集） （3）sup p [ ˆϕ, ϕˆ] = sup p h ψ, ˆ ψˆ i （差零测集） 证：(1) ⇒ (2)。则ψˆ = τ1ϕ, ˆ ϕˆ = τ2ψˆ，所以suppψˆ = supp ˆϕ。 (2) ⇒ (1)。由于ψ ∈ S (ϕ)，故存在τ使ψˆ = τϕˆ。由于τ在suppψˆ上不为零，故ϕˆ = τ −1ψˆ， 所以ϕ ∈ S (ψ)。故S (ψ) = S (ϕ)。 (2) ⇒ (3)。设ω ∈ [0, 2π] , [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) = 0,则ϕˆ (ω + 2πk) = 0, ∀k，故亦有ψˆ (ω + 2πk) = 0, ∀k。从而supp [ ˆϕ, ϕˆ] ⊃ supp h ψ, ˆ ψˆ i 。反向包含可类似的证明。 (3) ⇒ (2)。我们有ψˆ = τϕˆ，所以supp h ψ, ˆ ψˆ i ⊂ supp [ ˆϕ, ϕˆ]。设ω0 ∈ R, 使ϕˆ (ω0) 6= 0, 但ψˆ (ω0) = 0，则必有τ (ω0) = 0。故由τ的周期性，有ψˆ (ω0 + 2πk) = τ (ω0) ˆϕ (ω0 + 2πk) = 0, ∀k ∈ Z，这样，有 h ψ, ˆ ψˆ i (ω) = 0，故 [ ˆϕ, ϕˆ] (ω0) = 0，但这与ϕˆ (ω0) 6= 0矛盾。从 而supp ˆϕ ⊂ suppψˆ。 序列{ϕ (t − k)}k∈Z不一定是S (ϕ)的Riesz基。这由下面的条件所刻划。 定理3：设ϕ ∈ L 2 (R)。则{ϕ (t − k)}k∈Z是S (ϕ)的Riesz基，当且仅当存在正常数A，B使得 A ≤ [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) = X k |ϕˆ (ω + 2πk)| 2 ≤ B, a.e. (2) 证：设条件（2）成立。对∀ {ck} ∈ l 2，令f (t) = P k ckϕ (t − k), τ (ω) = P k cke −ikω . 则 kfk 2 = 1 2π ° ° ° ˆf ° ° ° 2 = 1 2π R +∞ −∞ ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 2π R +∞ −∞ |τ (ω)| 2 |ϕˆ (ω)| 2 dω = 1 2π R 2π 0 |τ (ω)| 2 [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) dω. 由于n √ 1 2π e −ikωo2 k 是L 2 [0, 2π]的标准正交基，故有 Z 2π 0 |τ (ω)| 2 dω = 2π X k |ck| 2 . 从（2）式推得 A X k |ck| 2 ≤ ° ° ° ° ° X k ckϕ (t − k) ° ° ° ° ° 2 ≤ B X k |ck| 2 (3)

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 即{9(t-k)}kez是 Riesz基 反之设(3)对任何{c}∈P2成立,则由 Plancherel公式,我们有 A|r2≤/r()(1,引(a)ub≤B|r1,r∈22 (4) 设0(0<u0<2m)是[,的 Lebesque点,取e<。令r(u)为2π周期函数,且在,2丌], 它等于(2)-12x0-+()。则T=1,在(4)中令→0,证得(2)。 由于Haar函数与 Shannon函数的正则性与局部性较差。我们希望有较好性质的函数,即要 求MRA具有某种正则性。 定义:设r≥0为整数。称MRA{V分}e是r正则的,若存在函数p,使{y(t-k)}kez构成V的 标准正交基,且φ及其直到r阶导数在无穷远处快速下降,即 po(t)|≤Kn(1+1)-m,wm∈z+,vt∈R,v0≤a≤r 我们常常能较容易地获得V的 Riesz基。通过一个正交化过程,我们进而可以得到V的标 准正交基,如下定理所示 定理4:设{V}/ez是一个MRA,g∈V使{9(t-k)}k构成了V的Resz基。则存在φ∈V使{y(t k)}k构成V的标准正交基。且若g是r-正则的,则yp也可选得是r-正则的。 证:由于{9(t-k)}k∈z是V的 Riesz基,故由定理3,存在正常数A,B,使得 A≤C)-(∑间+2m0)≤Bae 令 由表示定理2知,y∈V,且每个f∈V均有 f(a)=a()9(a)=a(a)G(a)A(u) 其中a(ω)是某个2π周期可测函数。再由定理2,得f∈S(y),从而VcS(φ).但显然 有S(y)CV故S(y)=V 因为 ∑(+2x6)2=(G)2∑[+276)=1,ae 由(1)式推得{(t-k)}kez是标准正交系。从而为V的标准正交基 由于g是r-正则的,由关于 Fourier变换的结果(第二章),知(u)是无穷可微的。因 为G(u)有正的下界,故(G(u)-是无穷次可微的周期函数,其 Fourier系数是速将的(自 证),即

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 5 即{ϕ (t − k)}k∈Z是Riesz基。 反之设（3）对任何{ck} ∈ l 2成立，则由Plancherel公式, 我们有 A kτk 2 ≤ Z 2π 0 |τ (ω)| 2 [ ˆϕ, ϕˆ] (ω) dω ≤ B kτk 2 , ∀τ ∈ L 2 [0, 2π] . (4) 设ω0 (0 < ω0 < 2π)是 [ ˆϕ, ϕˆ]的Lebesque点，取² < ω0。令τ (ω)为2π周期函数，且在[0, 2π]， 它等于(2²) −1/2 χ[ω0−ε,ω0+ε] (ω)。则kτk = 1。在（4）中令ε → 0，证得（2）。 由于Haar函数与Shannon函数的正则性与局部性较差。我们希望有较好性质的函数, 即要 求MRA具有某种正则性。 定义：设r ≥ 0为整数。称MRA{Vj}j∈Z是r-正则的，若存在函数ϕ，使{ϕ(t−k)}k∈Z构成V0的 标准正交基，且ϕ及其直到r阶导数在无穷远处快速下降，即 ¯ ¯ϕ (α) (t) ¯ ¯ ≤ Km(1 + |t|) −m, ∀m ∈ Z +, ∀t ∈ R, ∀0 ≤ α ≤ r. 我们常常能较容易地获得V0的Riesz基。通过一个正交化过程，我们进而可以得到V0的标 准正交基，如下定理所示。 定理4：设{Vj}j∈Z是一个MRA，g ∈ V0使{g(t−k)}k构成了V0的Riesz基。则存在ϕ ∈ V0使{ϕ(t− k)}k构成V0的标准正交基。且若g是r-正则的，则ϕ也可选得是r-正则的。 证：由于{g(t − k)}k∈Z是V0的Riesz基，故由定理3，存在正常数A, B，使得 A ≤ G(ω) = ÃX k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 !1/2 ≤ B a.e. 令 ∧ ϕ(ω) = ∧ g(ω)/G(ω). (5) 由表示定理2知，ϕ ∈ V0，且每个f ∈ V0均有 ∧ f(ω) = a(ω) ∧ g(ω) = a(ω)G(ω) ∧ ϕ(ω) 其中a(ω)是某个2π周期可测函数。再由定理2，得f ∈ S(ϕ)，从而V0 ⊂ S(ϕ). 但显然 有S(ϕ) ⊂ V0 故S(ϕ) = V0 因为 X k |ϕˆ(ω + 2πk)| 2 = (G(ω))−2X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = 1, a.e. 由（1）式推得{ϕ(t − k)}k∈Z是标准正交系。从而为V0的标准正交基。 由于g是r－正则的，由关于Fourier变换的结果（第二章），知gˆ(ω)是无穷可微的。因 为G(ω)有正的下界，故(G(ω))−1是无穷次可微的周期函数，其Fourier系数是速将的（自 证），即