Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D.Q. Dai, 2005 第三章连续小波变换 本章讨论连续小波变换。在第一节将引入小波的概念,小波变换与重构公式。第二节将介绍 对尺度进行离散化后的二进小波变换。第三节将用小波变换刻划函数的正则性, 1连续小波变换 设∈L1(R)∩L2(R).我们引入平移,伸缩和调制的概念 定义:对s∈R\{0},t∈R,定义vsb(t)为 (t) v(t)由三种运算构成:i)平移b,位置参数,1)伸缩s,尺度(或1/频率),i)调制左,对峰 值的调整 例1:考虑Haar小波 v()={-1,1/2<t≤ 0,其它 经伸缩与平移后的函数,如20(t),1/20(t)及to1(t)如下:图形 例2设()=/为Gas函数。置o(t)=-0()=h(1-2)e-/2.它的 Fourier变 换为v() /2 从图形可以看出:当s增加时,小波函数vo(t)的“宽度”增加,因而在时域上的分辨率 变差,然而ψ(ω)的宽度变窄,故频率分辨率增强。反之亦然 定理1:经伸缩与平移后,υsb(t)的模保持不变,即 ‖次sb=‖(这部分地解释为什么引入因子 证:作替换u=(t-b)/s,则有 ‖2=∫b(t)2dt ∫(=2d ∫(u)|2 定义:函数ψ∈L2(R)(∩L1(R)称为母小波( mother wavelet),若
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 1 第三章 连续小波变换 本章讨论连续小波变换。在第一节将引入小波的概念，小波变换与重构公式。第二节将介绍 对尺度进行离散化后的二进小波变换。第三节将用小波变换刻划函数的正则性。 1 连续小波变换 设ψ ∈ L 1 (R) ∩ L 2 (R). 我们引入平移，伸缩和调制的概念。 定义: 对s ∈ R\ {0}, t ∈ R，定义ψs,b(t)为 ψs,b(t) = 1 p |s| ψ( t − b s ). (1) ψs,b(t)由三种运算构成：i) 平移b, 位置参数,ii) 伸缩s,尺度(或1/频率), iii) 调制√ 1 |s| , 对峰 值的调整. 例1: 考虑Haar小波 ψ(t) = 1, 0 ≤ t < 1/2, −1, 1/2 < t ≤ 1, 0, 其它. 经伸缩与平移后的函数,如ψ2,0(t),ψ1/2,0(t)及ψ0,1(t) 如下：图形 例2: 设θ(t) = √ 1 2π e −t 2/2为Gauss函数。置ψ(t) = −θ 00(t) = √ 1 2π (1 − t 2 )e −t 2/2。它的Fourier变 换为ψˆ(ω) = ω 2 e −ω 2/2 . 从图形可以看出：当|s|增加时，小波函数ψs,0(t)的“宽度”增加，因而在时域上的分辨率 变差，然而ψds,0(ω)的宽度变窄，故频率分辨率增强。反之亦然。 定理1：经伸缩与平移后，ψs,b(t)的模保持不变，即 kψs,bk = kψk ( 这部分地解释为什么引入因子 1 p |s| ). 证：作替换u = (t − b)/s，则有 kψs,bk 2 = R R |ψs,b(t)| 2 dt = R R 1 |s| ¯ ¯ψ( t−b s ) ¯ ¯ 2 dt = R R |ψ(u)| 2 du = kψk 2 . 定义：函数ψ ∈ L 2 (R) (∩L 1 (R))称为母小波（mother wavelet），若
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D.Q. Dai, 2005 2 (2) 公式(2)称为小波函数的可容许性条件( admissible condition 由于如∈L1故它的 Fourier变换v(u)连续。由(2)式,推得 (u)2 要此积分收敛,必须有:v(0)=0.也即 v(t)dt=0 上式表明,v的正的部分与负的部分与t轴所围的面积是相同的,它的图象是振荡的。类似 于正弦波。我们将对v的光滑性以及局部性作出进一步的限制,因而得到局部化的波形,故 有“小波”这一名称 例:1)高斯函数的差(DOG) v(1)=a-2e-1122)-e-/2,a<1, /2_c-2/2 2) Morlet小波 v(t)=ee-#2/2 (u-k)2/2 当k>6时,第二项是数值可忽略的,因而它变为 /2 v(u)=e(-)2. 3)样条函数 3t2-2t,0≤t≤1/2 v(t) (t-1)2,1/2≤t<1, t> v(t)为奇函数 我们考察从到b后,它的时一频( Heisenberg)窗口的变化。按定义有(不妨设s> 0)。对平均位置°有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 2 Cψ = Z R ¯ ¯ ¯ψˆ (ω) ¯ ¯ ¯ 2 |ω| dω < + ∞. (2) 公式(2)称为小波函数的可容许性条件（admissible condition）。 由于ψ ∈ L 1 , 故它的Fourier变换 ˆ ψ(ω)连续。由（2）式，推得 Z 1 −1 |ψˆ(ω)| 2 |ω| dω < ∞. 要此积分收敛，必须有：ψˆ(0) = 0. 也即 Z +∞ −∞ ψ(t)dt = 0. (3) 上式表明，ψ的正的部分与负的部分与t轴所围的面积是相同的，它的图象是振荡的。类似 于正弦波。我们将对ψ的光滑性以及局部性作出进一步的限制，因而得到局部化的波形，故 有“小波”这一名称。 例：1）高斯函数的差（DOG） ψ(t) = α −2 e −t 2/(2α 2 ) − e −t 2/2 , α < 1, ψˆ(ω) = e −α 2ω 2/2 − e −ω 2/2 . 2)Morlet小波 ψ(t) = e ikte −t 2/2 − e −k 2/2 e −t 2/2 , ψˆ(ω) = e −(ω−k) 2/2 − e −k 2/2 e −ω 2/2 . 当k≥6时，第二项是数值可忽略的，因而它变为 ψ(t) = e ikte −t 2/2 , ψˆ(ω) = e −(ω−k) 2/2 . 3）样条函数 ψ(t) = 3t 2 − 2t, 0 ≤ t ≤ 1/2 −(t − 1)2 , 1/2 ≤ t < 1, 0, t ≥ 1, ψ(t) 为奇函数. 我们考察从ψ到ψs,b后，它的时—频(Heisenberg)窗口的变化。按定义有（不妨设s > 0）。对平均位置u s有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D Q. Dai, 2003 广t|(+)dt b, 即平移了b后再伸缩了s倍。而在频率上,有 广ub()d 1 s 从而它们的平均宽度分别满足 (o2)2 ∫(t-)2losb(t)2dt ∫(t-(su+b)21(=2)dt (o5)2 5)2 sw(sw 由于01.08=01,0,所以 Heisenberg盒子的面积保持不变。但它们的形状随着s的变化而 变化。这是与窗口 Fourier变换不相同的地方 我们现在考虑小波变换 定义:设v为母小波.∫∈L2(R),定义它的小波变换为 (Wf)(s, b)=(, s, b) ∫f(t)sb(t)dt 利用 Plancherel公式,小波变换也可以在频率域内写为 (Wf)(s, b) 我们一般要求小波函数在时域与频域都有良好的局部性,例如,紧支集、指数衰减等。 我们考察在尺度s,位置b的小波变换,在时域与频域从函数∫所抽取得信息
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 3 u s = 1 kψs,bk 2 R +∞ −∞ t|ψs,b(t)| 2 dt = 1 kψk 2 R +∞ −∞ t 1 s ¯ ¯ψ( t−b s ) ¯ ¯ 2 dt = su + b, 即平移了b后再伸缩了s倍。而在频率上，有 ξ s = 1 2πkψs,bk R +∞ −∞ ω ¯ ¯ ¯ψˆ s,b(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 2πkψk 2 R +∞ −∞ ωs ¯ ¯ ¯ψˆ(sω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 s 1 2πkψk 2 R +∞ −∞ ω ¯ ¯ ¯ψˆ(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = ξ s 从而它们的平均宽度分别满足 (σ s t ) 2 = 1 kψs,bk 2 R (t − u s ) 2 |ψs,b(t)| 2 dt = 1 kψk 2 R (t − (su + b))2 1 s ¯ ¯ψ( t−b s ) ¯ ¯ 2 dt = s 2 (σt) 2 和 (σ s ω ) 2 = 1 kψs,bk 2 R (ω − ξ s ) 2 ¯ ¯ ¯ψˆ s,b(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 kψk 2 R (ω − ξ s ) 2 s ¯ ¯ ¯ψˆ(sω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = (σω) 2 s 2 . 由于σ s t .σs ω = σt .σω，所以Heisenberg盒子的面积保持不变。但它们的形状随着s的变化而 变化。这是与窗口Fourier变换不相同的地方。 我们现在考虑小波变换。 定义：设ψ为母小波. f ∈ L 2 (R)，定义它的小波变换为 (W f) (s, b) = hf, ψs,bi = R R f(t)ψs,b (t)dt = R R f(t)√ 1 |s| ψ ¡ t−b s ¢ dt. 利用Plancherel公式，小波变换也可以在频率域内写为 (W f) (s, b) = 1 2π Z R ˆf(ω) p |s|ψˆ (sω)e ibωdω. (4) 我们一般要求小波函数在时域与频域都有良好的局部性，例如，紧支集、指数衰减等。 我们考察在尺度s，位置b的小波变换，在时域与频域从函数f所抽取得信息
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D.Q. Dai, 2005 由于(Wf)(s,b)=∫f(t)sb(t)d,在时域上所利用的f的信息集中在时刻b,宽度为o st的位置上。它在时域上随着参数b的改变而作平移。当尺度s变小时,o也变小,从 而υb的分辨率增强,(W∫)(s,b)提取愈来愈局部的细节。当尺度增加时,σ增大,v。b的分 辨率减弱,(Wf)(s,b)获取的是∫的整体的性质。尺度s类似于地图绘制中所用的“比例尺” 高比例尺可获得整体的视图,如世界地图;低比例尺对应于象城市一类的局部的地图。这也 形象的解释位置参数的作用 在频域上,由于(Wf)(s,b)=1/(2)∫f(u)vb(u)du,所利用的f的频率宽度为os σ/s,与尺度s成反比。所以当s变小时,小波变换的频域分辨率变差,而当s增大时,它得 到增强。由于小波变换不是 Fourier变换,直观上尺度s与频率成反比关系。因而,我们可以 看出,小波变换在低频时,有较好的分辨率,这是以牺牲在时域的分辨率为代价而得到的。 在高频的时候,(对应于小尺度s),小波变换的分辨率变差。 调制参数1/√冈是由于归一化要求从数学上所导出的。它本身也有物理意义。比如显微 镜,当想知道细节时,你不能看到一个小窗口以外的。在此窗口内细节的强度都增强了,这 对应于|b(t)的幅值,即增加1/√s从这种意义上,小波变换可看作成“数学显微镜 定理2:设∫∈L2(R).则对固定的s≠0,有 wf(s,)2≤√‖1f2 证:设(1)=(-2).则有 =√问 这时(W)(,b)=(f*)(b)。由Youg不等式得 (Wf)(s,)‖ ‖f2=√s‖l1·‖f 定理3:( Calderon(1964), Grossman, Morlet(1984):设f,9∈L2().则有 wf)(s, b)(Wg)(s, b)db 且在L2意义下,有 f()=C//w(s,b)v() dsdb 证:由(4),(Wf)(s,b)关于b的 Fourier变换Wf(s,)=f()√/lsv(s).将 Parseval等式应用 于关于b的积分,得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 4 由于(W f)(s, b) = R R f(t)ψs,b(t)dt ，在时域上所利用的f的信息集中在时刻b，宽度为σ s t = sσt 的位置上。它在时域上随着参数b的改变而作平移。当尺度s变小时，σ s t也变小，从 而ψs,b的分辨率增强，(W f)(s, b)提取愈来愈局部的细节。当尺度增加时，σ s t增大，ψs,b的分 辨率减弱，(W f)(s, b)获取的是f的整体的性质。尺度s类似于地图绘制中所用的“比例尺”。 高比例尺可获得整体的视图，如世界地图；低比例尺对应于象城市一类的局部的地图。这也 形象的解释位置参数的作用。 在频域上，由于(W f)(s, b) = 1/(2π) R R ˆf(ω)ψˆ s,b (ω)dω，所利用的 ˆf的频率宽度为σ s ω = σω/s，与尺度s成反比。所以当s变小时，小波变换的频域分辨率变差，而当s增大时，它得 到增强。由于小波变换不是Fourier变换，直观上尺度s与频率成反比关系。因而，我们可以 看出，小波变换在低频时，有较好的分辨率，这是以牺牲在时域的分辨率为代价而得到的。 在高频的时候，（对应于小尺度s），小波变换的分辨率变差。 调制参数1/ p |s|是由于归一化要求从数学上所导出的。它本身也有物理意义。比如显微 镜，当想知道细节时，你不能看到一个小窗口以外的。在此窗口内细节的强度都增强了，这 对应于|ψs,b(t)| 的幅值，即增加1/ p |s|。从这种意义上，小波变换可看作成“数学显微镜”。 定理2：设f ∈ L 2 (R). 则对固定的s 6= 0，有 kW f(s, ·)k2 ≤ p |s| kψk1 · kfk2 (5) 证：设ψ ∼ (t) = √ 1 |s| ψ ¡ − t s ¢ . 则有 ° ° ° ° ψ ∼ ° ° ° ° 1 = p |s| kψk1 这时(W f) (s, b) = µ f ∗ ψ ∼ ¶ (b)。由Young不等式得 k(W f) (s, ·)k2 ≤ ° ° ° ° ψ ∼ ° ° ° ° 1 kfk2 = p |s| kψk1 · kfk2 . 定理3: (Calderon(1964), Grossman, Morlet(1984))：设f, g ∈ L 2 (R). 则有 Z R Z R (W f) (s, b)(W g) (s, b)dbds s 2 = Cψ hf, gi (6) 且在L 2意义下，有 f (t) = C −1 ψ Z R Z R (W f) (s, b) ψs,b (t) dsdb s 2 . (7) 证: 由（4），(W f)(s, b)关于b的Fourier变换W f d(s, ξ) = ˆf(ξ) p |s|ψˆ(sξ). 将Parseval等式应用 于关于b的积分，得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3. by D.Q. Dai, 2005 (.(m9)b学=(W(,HW)空 ∫∫f()Vs(s)0(5)√sv(s)dk R R ∫∫(9(5)()d 2∫f()0(5)( k()-ds)ds g∫f()0()d=C<g>, 这就证明了(6)式 为证明(7)式,考虑积分 c// (Wf)(s, b)vs, b(t) dsdb s1≤|s≤s2 ≤B 当81→0,s2,B→∞时的极限。记△1={(s,b):S1≤|s≤s2,|b≤B},△2=R2-△1我们 有 ∫∫△,(Wf)(s,b)kb()s2 ≤spc-/2wb94 ≤C(△fsb2)2.(sbPe ≤scJ∫△2(f(s,b)2≠)(∫Wgs,b)2e)2 ≤(∫J△2(W)(s.6)24)12 上式收敛于零,因为由(6)式,积分C()(s,b)24收敛 (8)式中的积分当与g∈L2作内积后 W(6)<>=≤△W9>学 ≤∫∫,‖f·b·‖b· =4B(-是)f·|l·啡‖ 从而(8)式属于L2(R) (7)式表明,从函数∫的小波变换系数Wf,可以通过小波v。b重构函数∫。分解时用的小 波可与重构时所用的小波不同,如下面的定理所述的 定理4:设的,如2∈D(,满足C1的=∫当巴d≠,2可微且∈D2(R),2()∈ L1(R),v1(0)=2(0)=0。若f∈L1()且有界,则在f的连续点t,有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 3, by D.Q. Dai,2003 5 R R R R (W f)(s, b)(wg)(s, b)db ds s 2 = 1 2π R R R R (W fˆ)(s, ξ)W gˆ (s, ξ)dξ ds s 2 = 1 2π R R R R ˆf(ξ) p |s|ψˆ(sξ)gˆ(ξ) p |s|ψˆ(sξ)dξ ds s 2 = 1 2π R R R R ˆf(ξ)gˆ(ξ) ¯ ¯ ¯ψˆ(sξ) ¯ ¯ ¯ 2 dξ ds |s| = 1 2π R R ˆf(ξ)gˆ(ξ)(R R |ψˆ(sξ)| 2 |ξ| ds)dξ = Cψ 2π R R ˆf(ξ)gˆ(ξ)dξ = Cψ < f, g >, 这就证明了（6）式。 为证明（7）式，考虑积分 1 Cψ Z Z s1 ≤ |s| ≤ s2 |b| ≤ B (W f)(s, b)ψs,b(t) dsdb s 2 (8) 当s1 → 0, s2, B → ∞时的极限。记∆1 = {(s, b) : s1 ≤ |s| ≤ s2, |b| ≤ B}, ∆2 = R 2 − ∆1 我们 有 ° ° °f − 1 Cψ R R ∆1 (W f)(s, b)ψs,b(t) dsdb s 2 ° ° ° = sup kgk≤1 ¯ ¯ ¯< g − 1 Cψ R R ∆1 (W f)(s, b)ψs,b(t) dsdb s 2 , g > ¯ ¯ ¯ ≤ sup kgk≤1 ¯ ¯ ¯ Cψ −1 R R ∆2 (W f)(s, b)(W g)(s, b) dsdb s 2 ¯ ¯ ¯ ≤ sup kgk≤1 Cψ −1 ( R R ∆2 ¯ ¯ ¯W f(s, b2 dsdb s 2 ) ¯ ¯ ¯) 1/2 · ( R R ∆2 |W g(s, b)| 2 dsdb s 2 ) 1/2 ≤ sup kgk≤1 C −1 ψ ( R R ∆2 |(W f)(s, b)| 2 dsdb s 2 ) 1/2 ( R R R2 |W g(s, b)| 2 dsdb s 2 ) 1/2 ≤ (C −1 ψ R R ∆2 |(W f)(s, b)| 2 dsdb s 2 ) 1/2 上式收敛于零，因为由（6）式，积分Cψ −1 RR R2 |(W f)(s, b)| 2 dsdb s 2 收敛。 （8）式中的积分当与g ∈ L 2 作内积后。 ¯ ¯ ¯ R R ∆1 (W f)(s, b) < ψs,b, g > dsdb s 2 ¯ ¯ ¯ ≤ R R ∆1 |W f| · |< ψs,b, g >| dsdb s 2 ≤ R R ∆1 kfk · kψs,bk · kψs,bk · kgk dsdb s 2 = 4B( 1 A1 − 1 A2 ) kfk · kgk · kψk 2 . 从而（8）式属于L 2 (R)。 (7)式表明，从函数f的小波变换系数W f，可以通过小波ψs,b重构函数f。分解时用的小 波可与重构时所用的小波不同，如下面的定理所述的： 定理4：设ψ1，ψ2 ∈ L 1 (R)，满足Cψ1,ψ2 = R ψˆ 1(ω)ψˆ 2(ω) |ω| dω 6= 0, ψ2可微且ψ 0 2 ∈ L 2 (R), ψ2(t) ∈ L 1 (R)，ψˆ 1(0) = ψˆ 2(0) = 0。若f ∈ L 1 (R)且有界，则在f的连续点t，有