§2多元连续函数 多元函数 定义11.2.1设D是R上的点集,D到R的映射 f: D>R 称为n元函数,记为z=f(x)。这时,D称为f的定义域,f(D)= z∈R|z=f(x),r∈D}称为f的值域,Ⅰ{(x,x)∈R|z=f(x),x∈D}称为 f的图像
多元函数 定义 11.2.1 设 D 是 n R 上的点集，D 到 R 的映射 f : D → R ， x z 称 为 n 元函数，记 为 z f = ( ) x 。这 时，D 称 为 f 的定义域， f ( ) D = { R | ( ), } z z f = x x D 称为 f 的值域，= 1 {( , ) R | ( ), } n z z f + x x x D = 称为 f 的图像。 §2 多元连续函数
例112.1=1-x-y是二元函数,其定义域为 D={(x,y)∈R2|2+2≤1 函数的图像是一个上半椭球面(见图11.2.1)。 图11.2.1
例 11.2.1 2 2 2 2 1 b y a x z = − − 是二元函数，其定义域为 D= 2 2 2 2 2 ( , ) 1 x y x y a b + R ， 函数的图像是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。 z 2 2 2 2 1 b y a x z = − − O y y x 图 11.2.1
多元函数的极限 定义1122设D是R"上的开集,x=(x,x2…,x)eD为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的g>0,存在δ>0,使得当x∈O(x,o)\{x}时,成立 f(x)-4<E, 则称x趋于x时f收敛,并称A为∫当x趋于x时的(n重)极限, 记为 imf(x)=A,或f(x)→>A(x→>x0),或 im。f(x1,x2,…,xn)=A
多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( ) 0 0 2 0 0 1 , , , n x x x x D 为一定 点，z = f (x)是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的 0，存在 0，使得当 ( , ) x O x0 \ { 0 x }时，成立 f (x) − A ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim x→x f (x) = A , 或 f (x) → A （ x → x0），或 f x x xn A x x x x x x n n = → → → lim ( , , , ) 1 2 0 0 2 2 0 1 1
多元函数的极限 定义1122设D是R"上的开集,x=(x,x2…,x)eD为一定 点,z=f(x)是定义在D\{x}上的n元函数,A是一个实数。如果 对于任意给定的g>0,存在δ>0,使得当x∈O(x,o)\{x}时,成立 f(x)-4<E, 则称x趋于x时f收敛,并称A为∫当x趋于x时的(n重)极限, 记为 imf(x)=A,或f(x)→>A(x→>x0),或 im。f(x1,x2,…,xn)=A。 X→x 注在上面的定义中,“x∈O(xn,)\{x}”也可以用下面的条件 x1-xkδ,|x2-x2kd,…,|xn-xnk<,x≠x0 替代
注 在上面的定义中，“ 0 x x O( , ) \ { 0 x }”也可以用下面的条件 | | , | | , 0 2 2 0 x1 − x1 x − x , | | , 0 xn − xn x 0 x 替代。 多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( ) 0 0 2 0 0 1 , , , n x x x x D 为一定 点，z = f (x)是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的 0，存在 0，使得当 ( , ) x O x0 \ { 0 x }时，成立 f (x) − A ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim x→x f (x) = A , 或 f (x) → A （ x → x0），或 f x x xn A x x x x x x n n = → → → lim ( , , , ) 1 2 0 0 2 2 0 1 1
例112.2设f(x,y)=(x+y)sm,),证明 x+ imf(x,y)=0。 (x,y)>(0,0) 证由于 f(x,y)-0F(x+y)sin ≤|x+y|≤|x|+|y, 所以,对于任意给定的E>0,只要取δ=5,那么当|x-0k6,|y-0kδ, 且(x,y)≠(00)时, f(x,y)-0|≤|x|+y|<+6=2+ 22 这说明了mf(x,y)=0。 (x,y)->(0,0)
例 11.2.2 设 2 2 ( , ) ( )sin x y y f x y x y + = + ，证明 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0) = → f x y x y 。 证 由于 2 2 | ( , ) 0 | ( )sin x y y f x y x y + − = + ≤| x + y | ≤| x | + | y |， 所以，对于任意给定的 0，只要取 2 = ，那么当| x − 0 | , | y − 0 | ， 且(x, y) (0,0)时，| f (x, y) − 0 |≤ + + = + = 2 2 | x | | y | 。 这说明了 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0) = → f x y x y