由上述定义可知,只有当无穷级数收敛时,无穷多个实数的加法 才是有意义的,并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。 例9.1.1设qk<1,则几何级数(即等比级数) ∑q"=1+q+q2+…+q"+ 是收敛的。它的部分和数列的通项为 显然
由上述定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法 才是有意义的，并且它们的和就是级数的部分和数列的极限。所以， 级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。 例 9.1.1 设 q < 1|| ，则几何级数（即等比级数 ） ∑ ∞ = − 1 1 n n q = 1 2 qqq n +++++ "" 是收敛的。它的部分和数列的通项为 S n = q q q n n k k − − ∑ = = − 1 1 1 1 ， 显然， limn→∞ S n = 1 − q 1
现在来回答本章开头提出的 achilles追赶乌龟的问题。 设乌龟的速度n(米/秒)与 achilles的速度n2(米/秒)之比为 ,0<q<1。 Achilles在乌龟后面S(米)处开始追赶乌龟。当 Achilles 跑完S1(米)时,乌龟已向前爬了S2=qS1(米);当 Achilles继续跑 完S2(米)时,乌龟又向前爬了S3=q2S1(米);…当 achilles继续跑 完Sn(米)时,乌龟又向前爬了Sn1=q"S1(米);…显然 Achilles 要追赶上乌龟,必须跑完上述无限段路程S,S2…,Sn…,由于 S1+S2 S (1+q+ 所以当 achilles跑完路程S=S米(即经过了时间7=S秒), (1-q)y2 他已经追上了乌龟
现在来回答本章开头提出的 Achilles 追赶乌龟的问题。 设乌龟的速度 1 v (米／秒 ) 与 Achilles 的速度 2 v （米／秒）之比为 q = 2 1 v v , 0< q<1 。Achilles 在乌龟后面 S（米） 1 处开始追赶乌龟。 当 Achilles 跑完 S1（米）时，乌龟已向前爬了 = qSS 12 （米）；当 Achilles 继续跑 完 S 2（米）时，乌龟又向前爬了 1 2 3 = SqS （米）；",当 Achilles 继续跑 完 S n （米）时，乌龟又向前爬了 1 SqS 1 n n + = （米）；". 显然 Achilles 要追赶上乌龟，必须跑完上述无限段路程 ,,,,, 21 SSS n "" 由于 + 21 + + SSS n +"" = 1( ) 2 1 1 " qqqS n − +++++ " = , 1 1 q S − 所以当 Achilles 跑完路程 S = q S 1 − 1 米（即经过了时间 T = 2 1 )1( vq S − 秒）， 他已经追上了乌龟