《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第10章 曲线积分和曲面积分 Ch 10-6 高斯公式和斯托克斯公式

例5.设函数u(x,y)，v(x,y)在闭区域Q上具有一阶和Ov二阶连续偏导数，证明格林(Green)第一公式p=uxaC2uavdxdydz0Q=uaxC0-avOvOvdsuDcos βcosα +cOSYR=uoxazayazQuOvOudOuOyJa(ouoxdxdydzazazQyOy其中Z是整个Q边界面的外侧aRapQ分析：高斯公式movdaxazoy, Pdydz+Qdzdx+RdxdyOe000?机动目录上页下页返回结束

        +   +   cos cos  cos z v y v x v 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 d S 例5. 设函数  u d xd y d z  = u (  − )d xd y d z x u   y u   + y v   z u   + z v   其中  是整个  边界面的外侧. P = u x v   Q = u y v   R = u z v   分析: ( ) x y z z R y Q x P d d d    +   +    = Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y x v   高斯公式           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

OvOvOv证:令 P=u由高斯公式得CR=u0xaz01a1OC11aaaxOuOu OvOvOu Ov+xdydzX1OzOx 0xOy OyOzovaOvdxdydzdx+OxOzoyavavOvdscos βcOs ycosα-axazoy移项即得所证公式O00DX机动目录上页下页返回结束

证:令 P = u , x v   Q = u , y v   R = u , z v   由高斯公式得           +   +   2 2 2 2 2 2 z v y v x v         +   +   cos cos  cos z v y v x v  = u d S 移项即得所证公式. y v   z v   x v   机动 目录 上页 下页 返回 结束

设:×2++2=R2取外侧,为思考与练习所围立体，r=/x2+y22+z2,判断下列演算是否正确？337(1) dxdydzdx+V03rx3 dydz+y3 dzdx+ 23dxdyR-3(x2 + y2 +22)dvJ。dv= 4元R2R(?3X72)dxd1dy1?dOXX,T)[dv =O0000?机动目录上页下页返回结束

思考与练习 所围立体, 判断下列演算是否正确? (1) x y r z z x r y y z r x d d d d d d 3 3 3 3 3 3 + +  = =  = v R d 3 2 = 4R (2) x y r z z x r y y z r x d d d d d d 3 3 3 3 3 3 + +   ( ) ( ) ( ) v r z r z y r y x x d 3 3 3 3 3 3   +   +   =  = 3 1 R x d y d z y d z d x z dxd y 3 3 3 + +  3 1 R  3(x + y + z )d v 2 2 2  为 机动 目录 上页 下页 返回 结束