和平面z=O所z= Vα2-x2-2 例1.设为半球面围曲面的外侧，计算曲面积分I = [ xz?dydz +(x* y-23)dzdx +(2xy + y2)dxdyapaRaQ解：OxayOz由高斯公式得球面坐I=(x2 + y? + z?)dxdydz标变换2元2de·r? sin pdrdJo002元aO0000x5定理1目录上页下页返回结束
定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设Σ为半球面 2 2 2 z a x y = − − 2 2 3 2 I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ( ) (2 ) = + − + + 2 2 2 , , P Q R z x y x y z = = = 2 2 2 I x y z dxdydz ( ) = + + 2 2 2 2 0 0 0 sin a d d r r dr = 2 5 5 = a 围曲面的外侧, 计算曲面积分 解: 和平面 z = 0 所 由高斯公式得 球面坐 标变换
例2.用Gauss公式计算(x-y)dxdy+(y-z)xdydz其中为柱面x2+2=1及平面z=0,z=3所围空间闭域2的整个边界曲面的外侧解: 这里 P=(y-z)x,Q=0, R= x-y利用Gauss 公式,得JJ(y-2)dxd ydz (用柱坐标),原式 =1JJg(rsing-2)rdrdodzx9元2元derd(rsin0-z)dz20思考：若改为内侧，结果有何变化？若乙为圆柱侧面(取外侧），如何计算？O0000x机动目录上页下页返回结束
例2. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y − z)d xd y d z = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0 = − 2 9 = − x 3 o z 1 y P = (y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.利用Gauss公式计算积分(l(x? cosα+y? cos β+ z? cosy)ds一Eih其中为锥面x2+2=2介于z=0及Zz = h 之间部分的下侧y解：作辅助面Xx:x2+2≤h2,取上侧Zj:z=h, (x,y)eD1在上α=β=,=0记Z,Z,所围区域为2，则I=(F+z- J/)x cosα+y2 cos β+22 cos)ds=2JJ,(x+y+z)dxdydz-JJD h2 dxdyOe000x机动目录上页下页返回结束
例3. 利用Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 2 2 2 x + y = z h o z y 解: 作辅助面 x : , 1 z = h ( , ) : , 2 2 2 x y Dxy x + y h 取上侧 + = 1 I ( − 1 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2 + + , 0 1 2 = = = 在 上 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记, 1 h 所围区域为, 则 = 2 (x + y + z)d xd y d z h x y Dx y d d 2 − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
I=2JJJ。(x+y+z)dxdydz -JJ, h? dxdy1.x利用重心公式，注意x=V=02000zdxd ydz -π h42ZihQh2 dz - 元 h4Z·元Zy01Th42注：当积分曲面Z非闭时，不能直接利用Gauss公式此时应添加简单曲面，使之构成封闭曲面，从而所求第二类曲面积分转化为闭曲面所围立体上的三重积与所添加简单曲面上的二类积分之差Oe000X机动目录上页下页返回结束
I = 2 (x + y + z)d xdydz 利用重心公式, 注意 x = y = 0 = 2 z d xd ydz 4 − h h x y Dx y d d 2 − 4 2 1 = − h = h z 0 2 2 z dz 4 − h h o z y x 1 h 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 当积分曲面Σ非闭时, 不能直接利用Gauss公式, 此时应添加简单曲面, 使之构成封闭曲面, 从而所求 第二类曲面积分转化为闭曲面所围立体上的三重积 与所添加简单曲面上的二类积分之差
例4. 设为曲面z=2x2-2,1≤z≤2取上侧,求I = J,(xz+x)d ydz -x2yzdzdx-x22? dxd y.7解：作取下侧的辅助面Zi : z =1(x,y)e Dx, :x? +y? ≤1Z1= -[用极坐标用柱坐标21Z+ZZ10dxd ydz-(-1) (f,(-x)dxd yXJQ2元r3 dr[ ?"cos?@do]drdo013元12O0000X机动目录上页下页返回结束
例4. ( )d d d d d d . 3 2 2 2 I = x z + x y z − x yz z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y z 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 1 : z =1 ( , ) : 1 2 2 x y Dxy x + y I = + − 1 1 = d xd ydz ( x )d xd y 2 − Dxy − (−1) = 2 0 d 1 0 d r − 2 0 2 cos d 12 13 = 1 z o x y 2 1 用柱坐标 用极坐标 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束