第四章随机变量的数字特征S2方差例1甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：X：甲击中的环数：Y：乙击中的环数：9X8100.30.20.5PkY89100.20.40.4Pk试问哪一个人的射击水平较高？
第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 例1 X 8 9 10 k p 0.3 0.2 0.5 Y 8 9 10 k p 0.2 0.4 0.4 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出: X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数； 试问哪一个人的射击水平较高？
第四章随机变量的数字特征82方差例1（续）解比较两个人击中的平均环数甲击中的平均环数为EX =8×0.3±9 ×0.2±10×0.5 =9.2乙击中的平均环数为EY=8×0.2±9×0.4±10×0.4=9.2因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两个人击中环数的方差分别为DX = (8 - 9.2)2 ×0.3 + (9 - 9.2)2 ×0.2 + (10 - 9.2)2 ×0.5 = 0.76DY = (8 - 9.2)2 ×0.2 + (9 - 9.2) ×0.4 + (10 - 9.2)2 × 0.4 = 0.624由于 DY< DX，这表明乙的射击水平比甲稳定
第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 例1（续） 解 比较两个人击中的平均环数: 甲击中的平均环数为 乙击中的平均环数为 EX 8 0.3 9 0.2 10 0.5 9.2 EY 8 0.2 9 0.4 10 0.4 9.2 由于 DY < DX ，这表明乙的射击水平比甲稳定． DX (8 9.2) 0.3 (9 9.2) 0.2 (10 9.2) 0.5 0.76 2 2 2 DY (8 9.2) 0.2 (9 9.2) 0.4 (10 9.2) 0.4 0.624 2 2 2 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一 样的，但两个人击中环数的方差分别为
第四章随机变量的数字特征一方差的性质DX = E(X -EX).1)DX≥0.若c是常数，则Dc= 02)D(aX + b)= a’DX.3)D(aX + bY)= a'DX + b’DY+2abE(X - EX)(Y -EY),若X,Y相互独立,则D(aX+bY)=a"DX+b’DY证3）D(aX + bY) = E[aX +bY- E(aX +bY)]- E[a(X - EX) +b(Y - EY)]- Ea(X - EX) +b"(Y -EY)" + 2ab(X -EX)(Y - EY)= a DX + b"DY + 2abE(X -EX)(Y - EY)
二、方差的性质 第四章 随机变量的数字特征 证3） 2 DX E( X EX ) 2) D(aX b) 1) DX 0, 若 c 是常数，则 Dc 0. 3) D(aX bY ) 若 X ,Y 相 互 独 立 ， D(aX bY ) 2 E aX bY E(aX bY ) 2 E a(X EX ) b(Y EY ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 2 2 2 2 E a X EX b Y EY ab X EX Y EY 2 ( )( ) 2 2 a DX b DY abE X EX Y EY ( ) . 2 2 则 D a X b Y a D X b D Y . 2 a DX a DX b DY 2 2 2abE(X EX )(Y EY )
第四章随机变量的数字特征82方差E(X - EX)(Y -EY) = 0若 X,Y独立，则a故: D(aX+ bY)== a DX + b DY + 2abE(X - EX)(Y -EY)=a'DX +b'DY4) DX = 0 ← P[X = c} = 1,c = EX.令 Y =(X-EX)/ VDX,则 EY=0, DY=1.称Y是随机变量X的标准化了的随机变量
第四章 随机变量的数字特征 称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量. 令Y (X EX )/ DX , E(X EX )(Y EY ) 0 故：D(aX bY ) 2 ( )( ) 2 2 a DX b DY abE X EX Y EY . 2 2 a DX b DY 若 X,Y 独立，则 4）DX 0 P{X c} 1,c EX . 则 EY = 0, DY = 1. §2 方差
S2方差第四章随机变量的数特征例 1设X,Y～U[0,1]，且相互独立求EIX-YI,DIX-YI解1,0 <x<1,1,0 <y<1,fr(y)fx(x) =二0,其它.0,其它.y1,0<x<1,0<y<1,f(x,y) =10,其它0x
第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 例 1 设X,Y ~ U[0,1]，且相互独立. 解 < < 0, . 1,0 1, ( ) 其 它 x f X x < < < < 0, . 1,0 1,0 1, ( , ) 其 它 x y f x y x y 0 1 1 < < 0, . 1,0 1, ( ) 其 它 y f y Y 求 E | X Y |, D | X Y |