七、 函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 证明 我们仅证明(2)[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)'(x) [((=++a-e-r国 △x lim u(x+△x)r(x+△x)-u(x)v(x+△x)+u(x)y(x+△x)-u(x)y(x △x0 △x △x =+a国(e+A++a-国 △x0 △x △x =u(x)v(x)+u(x)v'(x) 31
31 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 证明 我们仅证明（2） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim x u x x v x x u x v x u x v x → x + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim x u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x → x + + − + + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lim x u x x u x v x x v x v x x u x → x x + − + − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x u x x u x v x x v x v x x u x → → x x + − + − = + + = + u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ). u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) = +
七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 注 (1)[Cu(x)]=Cu'(x),由此可得[au(x)+Bv(x)]=a'(x)+Bw'(x). (2)若'(x),v'(x),w'(x)均存在，则[u(x)v(xw(x)]存在，且 [u(x).v(x).w(x)]=u(x)v(x)w(x)+u(x)v(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x) (3)上述公式可简记为 a士=w生v;aj=r+p:周)=rrwe0 32
32 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 （3）上述公式可简记为 （1） Cu x Cu x ( ) '( ) ， = （2） 若 u x '( ) ， v x '( ) ， w x '( ) 均存在，则 u x v x w x ( ) ( ) ( ) 存在，且 u x v x w x u x v x w x u x v x w x u x v x w x ( ) ( ) ( ) ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + (u v u v ) ' ' = ； (u v u v u v ) ' ' = + ； 2 ' ' ( 0) u u v u v v v v − = . 注 u x v x u x v x ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) + = + 由此可得
函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 利用商的导数公式可以得到另外四个三角函数的计算公式 (tanx)'- Sinx cosx.cosx-sinx.(-sinx) cos'x =sec'x i a- -sinx.sinx-cosxcos=-1-cse sin2x sinx (6ecxj=L 0-(-sinx cos2x .=secxtanxi -coSx =-cscx cot x. sinx 33
33 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 利用商的导数公式可以得到另外四个三角函数的计算公式. ( ) sin tan cos x x x = ( ) cos cot sin x x x = ( ) 1 csc sin x x = ( ) 1 sec cos x x = ( ) 2 cos cos sin sin cos x x x x x − − = ； 2 = sec x 2 sin sin cos cos sin x x x x x − − = 2 2 ； 1 csc sin x x − = = − ( ) 2 0 sin cos x x − − = = sec tan x x ； 2 cos sin x x − = = −csc cot x x
七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 例10计算下列函数的导数， (1)y=3*-Inx+sinx+e; (2)f()=+4co5x-sin; (3)y=(x2+3a)sinx-l); (4)y=(2x+31-xx+2); (5)y= x+1 Inx (6)/(x)-2tanx 1+x2 34
34 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 例10 计算下列函数的导数. （1） 3 ln sin e ； x y x x = − + + （2） ( ) ； 3 π 4cos sin 7 f x x x = + − （3） ； 2 ( 3 )(sin 1) x y x a x = + − （4） y x x x = + − + (2 3)(1 )( 2) ； （5） ； 1 ln x y x + = （6） . ( ) 2 2 tan 1 x x f x x = +
七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 解 (1)y=3*-Inx+sinx+e y=(3-Inx+sinx+eY=(3Y-(lnx)+(sinx)+(ey=3In3-+cosx (2)f(x)=x+4cosx-sin f)-（+cs-m升-64(4eas-sm升-3x-4snx (3)y=(x2+3a)sinx-1) y'=[(x2+3a)(sinx-1)]=(x2+3a)y(sinx-l)+(x2+3a)(sinx-1)' =(2x+3a*In a)(sinx-1)+(x2+3a*)cosx. 35
35 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 解 (3 ln sin e) x y x x = − + + (3 ) (ln ) (sin ) (e) x = − + + x x 1 3 ln 3 cos x x x = − + ( ) 3 π ' cos sin ' 7 f x x x = + − ( ) ( ) 3 π ' 4cos ' sin ' 7 x x = + − 2 [( 3 )(sin 1)] x y x a x = + − 2 2 ( 3 ) (sin 1) ( 3 )(sin 1) x x = + − + + − x a x x a x （1） 3 ln sin e x y x x = − + + （2） ( ) 3 π 4cos sin 7 f x x x = + − （3） 2 ( 3 )(sin 1) x y x a x = + − 2 = − 3 4sin x x 2 (2 3 ln )(sin 1) ( 3 )cos . x x = + − + + x a a x x a x