五、切线与法线方程 第二章一元函数微分学及其应用 例9 求曲线y 在点日2 处的切线斜率，并写出切线及法线方程 因此，切线方程为 24》 ,即4x+y-4=0 法线方程为y-2=x》,即2x-8y+15=0. 26
26 五、切线与法线方程 第二章 一元函数微分学及其应用 因此，切线方程为 1 2 4 2 y x − = − − ，即 4 4 0 x y + − = ； 法线方程为 1 1 2 4 2 y x − = − ，即 2 8 15 0 x y − + = . 例9 求曲线 在点 处的切线斜率，并写出切线及法线方程. 1 y x = 1 , 2 2
六、函数的可导性与连续性的关系 第二章一元函数微分学及其应用 定理1 若函数f(x)在x,处可导，则函数f(x)在x,处必连续 证明 若函数f在处可导，由定义得了)，因此， lim Ay=lim A.Ax=()00 Ar→0△x 故函数∫(x)在x,处必连续
27 六、函数的可导性与连续性的关系 第二章 一元函数微分学及其应用 定理1 若函数 f x( ) 在 处可导，则函数 在 处必连续. 0 x f x( ) 0 x 证明 若函数 f x( ) 在 x0 处可导，由定义得 lim x 0 ( 0 ) ， 因此， y f x → x = ( 0 ) 0 0 lim lim 0 0 x x y y x f x → → x = = = 故函数 f x( ) 在 处必连续. 0 x
六、函数的可导性与连续性的关系 第二章 一元函数微分学及其应用 注 函数连续未必可导，这说明连续是可导的必要条件 例如，函数f(x)=在(-0，+∞)上连续，但在点x=0处不可导这是 因为在点x=0处有 lim f(0+△x)-f(0) △r-→0 △x △r→0 A-0=lim (Ax)=0 △x △x→0 =派 即导数为无穷大（导数不存在）.从图形上看（见 图2-9)，在该点处有与x轴垂直的切线x=0, 图2-9 28
28 六、函数的可导性与连续性的关系 第二章 一元函数微分学及其应用 注 函数连续未必可导， 这说明连续是可导的必要条件. 0 (0 ) (0) lim x f x f → x + − 例如，函数 在 上连续，但在点 处不可导.这是 因为在点 处有 3 f x x ( ) = (− + , ) x = 0 x = 0 即导数为无穷大（导数不存在）. 从图形上看(见 图2-9)，在该点处有与 x 轴垂直的切线 x = 0. y x O y= x 3 图 2-9 3 0 0 lim x x → x − = ( ) 2 3 0 lim x x − → = = +
六、函数的可导性与连续性的关系 第二章一元函数微分学及其应用 再比如，f()= xsin-,x≠0 由m(=xs=0， 0 x=0 得f(x)在x=0处连续，由 lim f(x)-f(0) xsin1-0 =limx。=limsin- x0 x-0 x→0 x-0 x-0 不存在， y=x sinx 得f(x)在x=0处不可导。由图形可知 (见图2-10)，曲线在x=0附近无限次震荡， 图2-10 29
29 六、函数的可导性与连续性的关系 第二章 一元函数微分学及其应用 再比如， ( ) 1 sin , 0 0, 0 x x f x x x = = 由 0 0 ( ) ， 1 lim lim sin 0 x x f x x → → x = = 得 f x( ) 在 x = 0 处连续，由 ( ) ( ) 0 0 0 1 sin 0 0 1 lim lim limsin x x x 0 0 x f x f x → → → x x x − − = = − − 不存在， 得 在 处不可导。由图形可知 （见图2-10），曲线在 附近无限次震荡. f x( ) x = 0 x = 0 y 1 O x y = x sin 1 x -1/π 1/π 图 2-10
七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 定理2 若(x)、v(x)在点x处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数 也都存在，且有 (1)[u(x)士()订='(x)士'(x): (2)[u(-v(x)='(xy()+u()p'(x); s-r9r0(g-0). 30
30 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 定理2 若 、 在点 处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数 也都存在，且有 u x( ) v x( ) x （1） u x v x u x v x ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ； = （2） u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ； = + （3） （ ）. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 u x u x v x u x v x ' ' v x v x − = v x( ) 0