七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 (4)y=(2x+3)1-x(x+2) y'=(2x+3)'1-x)(x+2)+(2x+3)1-x)(x+2)+(2x+3)1-x)x+2)' =21-x)(x+2)+(2x+3)(-1)(x+2)+(2x+3)1-x) =-6x2-10x+1 (5)y= x+1 Inx y-+lY'Inx-(x+1X(Inx) nr-(x+) x=xInx-(x+1) (Inx)2 (Inx)2 x(Inx)2 36
36 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 （4） y x x x x x x x x x = + − + + + − + + + − + (2 3) (1 )( 2) (2 3)(1 ) ( 2) (2 3)(1 )( 2) = − + + + − + + + − 2(1 )( 2) (2 3)( 1)( 2) (2 3)(1 ) x x x x x x 2 = − − + 6 10 1 x x 2 ( 1) ln ( 1)(ln ) (ln ) x x x x y x + − + = 2 1 ln ( 1) (ln ) x x x x − + = 2 ln ( 1) . (ln ) x x x x x − + = y x x x = + − + (2 3)(1 )( 2) （5） 1 ln x y x + =
七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 (6)/(x)-2/tanx 1+x2 r=2tm+-Gm: (+x) oie-6a24e4l-3刘je (1+x2) (+x2)月 37
37 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 （6） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 tan 1 tan 1 2 1 x x x x x x f x x + − + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 tan sec 1 tan 2 2 2 1 x x x x x x x x x + + − = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sec 1 3 tan 1 x x x x x x x + + − = + ( ) 2 2 tan 1 x x f x x = +
八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 定理3 如果单调函数x=(y)在某一区间1，内可导，且(y)≠0，则它 的反函数y=f(x)在对应的区间I={xx=(y),y∈I,}内也可导，且 证明 由反函数存在定理可知y=f(x)是单调、连续的，当x取得增量△时， Ay=f(x+△)-f(x)≠0（f(x)单调). 当△→0时，有△y→0（f(x)连续). 38
38 八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 定理3 如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它 的反函数 在对应的区间 内也可导，且 x y = ( ) y I ( y) 0 y f x = ( ) I x x y y I x y = = ( ), ( ) ( ) ( ) 1 y f x f x y = = 由反函数存在定理可知 y f x = ( ) 是单调、连续的，当 x 取得增量 x 时， = + − y f x x f x ( ) ( ) 0 （ ( ) 单调）. f x 证明 →x 0 有 →y 0 （ ( ) 连续）. 当 时， f x
反函数的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 定理3 如果单调函数x=(y)）在某一区间1，内可导，且p(y)≠0，则它 的反函数y=f(x)在对应的区间I={xx=(y),ye)}内也可导，且 f'(= △x 因为x=()可导，且p'()≠0，即m≠0，因此， Ay-0△y f(x)=lim Ay lim x-0△xAy-0△x lim △x p'(y) △y 4y→0△y 本定理也可简单叙述为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 39
39 八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 因为 x y = ( ) 可导，且 ( y) 0 ，即 lim 0 y 0 ，因此， x → y ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 lim lim lim x y y y f x x y x x y y → → → = = = = 本定理也可简单叙述为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它 的反函数 在对应的区间 内也可导，且 x y = ( ) y I ( y) 0 y f x = ( ) I x x y y I x y = = ( ), ( ) ( ) ( ) 1 y f x f x y = = 定理3
八、反函数的求导法则 第二章一元函数微分学及其应用 利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数 m是=my的反函数，=m<y骨在，-（引 内单调、可导，且(siny),=cosy>0,因此，在对应的1，=(-1，)内，有 (aresin x)-1 ny以cosy1-sin)V- 40
40 八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数. y x = arcsin 是 x y = sin 的反函数， 因此，在对应的 I x = −( 1,1) 内，有 ( ) ( ) 1 arcsin sin x y = 内单调、可导， π π sin 2 2 x y y = − π π , 2 2 y I = − 在 (sin cos 0 ) y y y 且 = ， 2 1 1 cos y 1 sin y = = − 2 1 1 x = −