四、左、右导数 第二章一元函数微分学及其应用 若 lim Ay lim f,+A)f）=lim (x)-f() △r→0△x △x→0 △x x-→x对 x-Xo 存在，则称其为函数f(x)在x处的右导数，记作f(x)； 若 lim y=limf+A)-f）=1imf()-fx】 △r→0△ △x0 △x x→0 x-Xo 存在，则称其为函数f(x)在x,处的左导数，记作(x). 21
21 四、左、右导数 第二章 一元函数微分学及其应用 若 若 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x + + + → → → + − − = = − 存在，则称其为函数 f x( ) 在 x0 处的右导数，记作 f x + ( 0 ) ； ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x − − − → → → + − − = = − 存在，则称其为函数 f x( ) 在 处的左导数，记作 . 0 x f x − ( 0 )
四、左、右导数 第二章一元函数微分学及其应用 因此，如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论： 函数f(x)在x=x,处可导的充要条件是f(x)在x=x处左、右导数 存在且相等 现在，我们可回答函数yx在x=0处不可导的原因： f(0)≠f'(0) 22
22 四、左、右导数 第二章 一元函数微分学及其应用 因此， 如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论： 现在，我们可回答函数 在 处不可导的原因: y x =| | x = 0 f f + − (0 0 ) ( ) 函数 在 处可导的充要条件是 在 处左、右导数 存在且相等. f x( ) 0 x x = f x( ) 0 x x =
四、左、右导数 第二章一元函数微分学及其应用 sinx x<0 例8 已知f()=x x≥0 ,求f(0)f'(0)及f(0). 解 r(o)=lmf)-/o=1m￥-l x0+ x→0X ()=lim=lim sir sinx =1, x-0 x-→0°X 故f'(0)=1. 23
23 四、左、右导数 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例8 已知 ( ) ，求 及 . sin 0 0 x x f x x x = f f + − (0 , 0 ) ( ) f (0) ( ) 0 0 ( ) (0) 0 lim lim 1, x x f x f x f x x + → → + + − = = = ( ) 0 0 ( ) (0) sin 0 lim lim 1, x x f x f x f x x − → → − − − = = = 故 f ' 0 1 ( ) =
五、切线与法线方程 第二章一元函数微分学及其应用 函数f(x)在点x处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x,f(x)》 处切线的斜率 k=tana=f(xo) 相应地，切线方程为y-f(x)=f”(x)(x-x) 法线方程为y-)-))*0 法线即为过切点M(x,f(x)且与切线垂直的直线， 24
24 五、切线与法线方程 第二章 一元函数微分学及其应用 相应地，切线方程为 法线方程为 函数 在点 处的导数在几何上表示曲线 在点 处切线的斜率 f x( ) 0 x y f x = ( ) M x f x ( 0 0 , ( )) k f x = = tan ( 0 ) y f x f x x x − = − ( 0 0 0 ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 1 y f x x x f x − = − − ( f x ( 0 ) 0) 法线即为过切点 ( ( )) 且与切线垂直的直线. 0 0 M x f x
五、切线与法线方程 第二章一元函数微分学及其应用 例9 求曲线=在点分2刘 处的切线斜率，并写出切线及法线方程 解 -(日-是，曲线=日在点公2】 处的切线斜率为 25
25 五、切线与法线方程 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例9 求曲线 在点 处的切线斜率，并写出切线及法线方程. 1 y x = 1 , 2 2 曲线 在点 处的切线斜率为 1 y x = 1 , 2 2 1 2 4 x k y = = = − 2 1 1 y x x = = −