三、简单函数的求导 第二章一元函数微分学及其应用 例4求f(x)=x”(n为正整数)的导数 (。=m二=m(+x2++G）=m 解 x→0X-X0 即(x）=.一般地，当x≠0，y=x” 有定义时， (x)=lim (x+△x)-x =x“limX=ux- Ar>0 △x Ar-0 △x r0△x 当x=0时，y=x“有定义时也有上式成立 如，取，则有网2：取=1，则有日 16
16 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 例4 求 ( ) ( 为正整数)的导数. n f x x = n 解 ( ) 0 0 0 0 lim n n n x x x x x x x x x = → − = − 一般地，当 x 0 ， y x = 有定义时， ( ) ( ) 0 lim x x x x x x → + − = 0 lim x x x x x → = 当 x = 0 时, y x 有定义时也有上式成立. = 例如，取 ，则有 ； 1 2 = ( ) 1 2 x x = ( ) 0 1 2 1 0 0 lim n n n x x x x x x − − − → = + + + 1 0 n nx − = 即 ( ) n n 1 x nx − = . 0 1 1 lim x x x x x → + − = = −1 2 1 1 x x = − 取 ，则有 . 1 x − =
三、简单函数的求导 第二章一元函数微分学及其应用 例5 求f(x)=sinx的导数： 解 sin(x+△x)-sinx=lim cosx+ Ar sin Ar (sinx) 22 sin △ lim cos X+ 2=cosx △x △x △x 2 同理(cosx)=-sinx 17
17 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例5 求 ( ) sin 的导数. f x x = ( ) ( ) 0 0 2cos sin sin sin 2 2 sin lim lim x x x x x x x x x → → x x + + − = = 0 sin 2 lim cos cos 2 2 x x x x x → x = + = 同理 (cos sin x x ) = −
三、简单函数的求导 第二章一元函数微分学及其应用 例6求f(x)=ad(a>0,a≠1)的导数 解(j=回双 △r0 a"-a=a lim aAx -1 Ax0△x 特别地，当a=e时，(e)=-elne=e*,即以e为底的指数函数的导数就是它本身 18
18 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例6 ( ) ( 0, 1) x 求 f x a a a = 的导数. ( ) 0 lim x x x x x a a a x + → − = (e =e ln e e ) x x x 特别地，当a = e 时， = ，即以 e 为底的指数函数的导数就是它本身. 0 1 lim x x x a a x → − = ln x = a a
三、简单函数的求导 第二章一元函数微分学及其应用 例7求f(x)=logax(a>0,a≠1) 的导数 解 loga 1+ Ar (log x)=lim log.(x+△r)-loga x lim- lim- X △x0 △x Ar>0 △x aro△r.Ina xIna 特别地，(nx)= 19
19 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 解 例7 求 ( ) ( ) 的导数. log 0, 1 a f x x a a = ( ) ( ) 0 log log log lim a a a x x x x x → x + − = 0 0 log 1 1 lim lim ln ln a x x x x x x → → x x a x a + = = = 特别地， ( ) 1 ln x x =
四、左、右导数 第二章一元函数微分学及其应用 下面我们来看yx|点x=0处的导数， lim ()-f()=lim!x1-101=lim!x1 x→0 x-0 x→0 x-0 x→0X 我们发现这个极限不存在，但是它的左极限 lim 和右极限lim x=lim X=1 都是存在的， x→0°X x-→0°X x->0+X x→0*X 所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念 20
20 四、左、右导数 第二章 一元函数微分学及其应用 下面我们来看 y x =| | 点 x = 0 处的导数. 0 0 0 ( ) (0) | | | 0 | | | lim lim lim x x x 0 0 f x f x x → → → x x x − − = = − − 我们发现这个极限不存在， 0 0 | | lim lim 1 x x x x x x → → − − − = = − 和右极限 0 0 | | lim lim 1 x x x x x x → → + + = = 所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念. 都是存在的. 但是它的左极限