导数的定义 第二章一元函数微分学及其应用 导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个 更一般性、 也更抽象的概念。 是是函数y=了利在[K馬+A州上的平均变 dy 化率， 而导数，则反映函数y=f()在点处的瞬时变化率，它实 际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度
11 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个 更一般性、也更抽象的概念. 是函数 在 上的平均变 化率， y f x = ( ) y x x x x 0 0 , + 它实 际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”. 0 x 0 d d x x y x 而导数 = 则反映函数 y f x = ( ) 在点 处的瞬时变化率
二 导数的定义 第二章一元函数微分学及其应用 如果y=f(x)在（a,b)内的每一点处均可导，则称y=f(x)在(a,b) 内可导.这时（α，b)内的每一点都对应一个导数值，由函数的定义就可以得到一 个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，记作∫'(x),y, 出或 dx 即有f'(x)=limy=lim f(x+△x)-f(x) △x→0△x △r-→0 △x 显然，函数y=f(x)在x处的导数，就是导函数f'(x)在x处的函数值 f'(x)=f'(x= 12
12 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 显然，函数 y f x = ( ) 在 x0 处的导数，就是导函数 f x ( ) 在 x0 处的函数值 ( ) ( ) 0 0 x x f x f x = = ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x y f x x f x f x → → x x + − = = 如果 在 内的每一点处均可导，则称 在 内可导. y f x = ( ) (a b, ) y f x = ( ) (a b, ) 由函数的定义就可以得到一 个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数， 即有 f x ( ) y d d y x d ( ) d f x x 记作 ， ， 或 ， 这时 (a b, ) 内的每一点都对应一个导数值
导数的定义 第二章一元函数微分学及其应用 例1求函数y=x3在x=1处的导数f'(). 解当x由1变到1+△x时，函数相应的增量为 △y=(1+△x)3-13=3·△x+3(△x)2+(△x)3 y=3+3Ax+(Ax)2, 所以 f(1)=lim △y=lim(3+3△x+(Ax)P)=3 △x→0△x △x→0 13
13 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 所以 例1 求函数 在 处的导数 . 3 y = x x = 1 f (1) 当 x 由1 变到 1+ x 时，函数相应的增量为 3 3 2 3 y = (1+ x) −1 = 3x + 3(x) + (x) 3 3 ( ) , 2 x x x y = + + 2 0 0 (1) lim lim (3 3 ( ) ) 3 x x y f x x → → x = = + + = 解
二 导数的定义 第二章一元函数微分学及其应用 例2 设'(0)存在，试求下列各极限： (1)limf(2x)-f() 其中f0)=0 0 解 (1)limf(2x)-f(0 )lim f(2x)-f(0) f2x)-f0=2f0: x-0 2x→0 =2.lim 2(2r-0) 2x→0 2x-0 (2)因为f0)=0,于是1 f(x) m =m f(x)-f(0 →0 x-0 2=f'0) 14
14 二、导数的定义 第二章 一元函数微分学及其应用 （1） 例2 设 存在，试求下列各极限: （1） f (0) 0 (2 ) (0) lim x f x f → x − （2） , ( ) lim 0 x f x x→ 其中 f (0) 0 = 0 2 0 (2 ) (0) (2 ) (0) lim lim 1 (2 0) 2 x x f x f f x f x x → → − − = − 2 0 (2 ) (0) 2 lim 2 (0); x 2 0 f x f f → x − = = − 因为 f (0) = 0, 于是 (0). 0 ( ) (0) lim ( ) lim 0 0 f x f x f x f x x x = − − = （ → → 2） 解
三、简单函数的求导 第二章一元函数微分学及其应用 下面根据导数的定义求一些简单函数的导数. 例3 求f(x)=C(C为常数)的导数 解 (C)=lim C-C =0 △r0 △x 15
15 三、简单函数的求导 第二章 一元函数微分学及其应用 例3 求 f x C ( ) = ( C 为常数)的导数. 解 ( ) 0 lim 0 x C C C → x − = = 下面根据导数的定义求一些简单函数的导数