《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第九章 重积分 9-1 二重积分的概念与性质

2．求平面薄片的质量设有一平面薄片，占有xOv面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为p(x,y)，假定p(x,J)在D上连续，平面薄片的质量为多少?将薄片分割成若干小块，J(Si,n)取典型小块，将其近似看作均匀薄片，求质量o所有小块质量之和olxnZ,M = limp(5,n;)Ao;.近似等于薄片总质量1→0i=1经济数学微积分

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为(x, y)，假定 (x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量  i • ( , )  i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，求质量. 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M   i    =   = → x y O

二、二重积分的概念定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域△oi，△2，，△n，其中△,表示第i个小闭区域也表示它的面积，在每个△;上任取一点(;,n)，作乘积f(Si,n;)Ao:(i =1,2,..,n),n并作和Zf(5i,n:)Ao;i=1经济数学微积分

定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D上的有界函数， 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1，  2 , ， n ，其中 i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积，在每个 i 上任取一点( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i， (i = 1,2,  ,n)， 并作和 i i n i i  f    = ( , ) 1 , 二、二重积分的概念

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,J)在闭区域D上的二重积分(doubleintegral)记为J f(x,y)do,n即Z(Si,:)Ao;lo= lim2-0i=1被积表达式面积元素积分区域积分变量被积函数积分和经济数学微积分

积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y ) 在闭区域 D 上的二重积分(double integral)， 记为D f ( x, y ) d  ， 即 ( , )d D f x y   i i ni i f     =   = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素