六、极限的四则运算定理设lim f(x) = A,limg(x) = B,则(1) lim[f(x)±g(x)l= A±B;(2) lim[f(x): g(x)] = A·B;Af(x)(3) lim其中B±0.Bg(x)推论1#如果lim,f(x)存在,而c为常数,则liml f(x)=clim f(x)这意味着，常数因子可以提到极限符号的外面
定理 推论1 lim ( ) , , lim[ ( )] f x c c f x 如果 存在 而 为常数 则 这意味着,常数因子可以提到极限 符号的外面. (1) lim[ ( ) ( )] ; f x g x A B = (2) lim[ ( ) ( )] ; f x g x A B = 设lim ( ) ,lim ( ) , f x A g x B = = 则 ( ) (3)lim , 0. ( ) f x A B g x B = 其中 六、极限的四则运算 c = c lim ( ). f x
推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[ f(x)]" =[lim f(x)]".这意味着,求一个函数n次幂的极限等于该函数极限值的n次幂
推论2 这意味着,求一个函数 n 次幂的极限 等于该函数极限值的n 次幂. lim ( ) , , lim ( ) lim ( ) . ] [ ] n n f x n f x f x = 如果 存在 而 是正整数 则 [
例10 lim(2x2 +3x -4)x-→1= lim(2x2) + lim3x + lim(-4)x-→1x-→1x-1= 2limx? +3lim x -4x→1x-→1= 2(limx)2 + 3- 4x-→1limLf(x)±g(x)]=A±B=1.lim[cf(x)]= clim f (x)lim[f(x)]" = [lim f(x)]}"代数和的极限等于极限的代数和
例10 2 1 lim(2 3 4) x x x → + − 2 1 lim(2 ) x x → = = 1. 2 1 2lim x x → = 1 lim 3 x x → + 1 lim( 4) x→ + − 1 3lim 4 x x → + − 2 1 2(lim ) 3 4 x x → = + − 代数和的极限等于极限的代数和. lim[ ( ) ( )] f x g x A B = lim[ ( )] lim ( ) cf x c f x = lim[ ( )] [lim ( )] n n f x f x =
r2-1lim(x + 2) ± 0例11limxx+2x-→1lim x? lim(x2 --1x-→1x-→1一lim(x + 2)lim x + 2x-→1x-11-1Af(x)0.-其中B±0.lim1+2Bg(x)商的在对商求极限时,若分母不为0,极限等于先求极限后,再做除法
2 1 1 lim x 2 x → x − + 2 1 1 lim( 1) lim( 2) x x x x → → − = + 2 1 1 lim 1 lim 2 x x x x → → − = + 1 1 1 2 − = + = 0. 在对商求极限时,若分母不为0，商的 极限等于先求极限后,再做除法. lim( 2) 0 1 + → x x ( ) lim , 0. ( ) f x A B g x B = 其中 例11
Af(x)其中B±0.limBg(x)4x2-1例12lim1由于lim(2x -1)= 0,2x-1r-2x-→2(2x -1)(2x + 1)limlim(4x2-1)1(2x-1)不能写成x→2lim(2x -1)1= lim(2x + 1)而在x→=时,2x-1±0,12x→2可以约分。2.=当分母的极限为0 的情形并约分要看分子，分母能否因式分解
2 1 2 4 1 lim x 2 1 x → x − − 1 2 (2 1)(2 1) lim x (2 1) x x → x − + = − 1 2 lim(2 1) x x → = + = 2. 要看分子,分母能否因式分解，并约分. 当分母的极限为0 的情形， 1 ,2 1 0, 2 而在x x → − 时 可以约分. 2 lim 4 1) lim 2 1) x x − − （ 不能写成 （ 1 2 lim(2 1) 0, x x → 由于 − = ( ) lim , 0. ( ) f x A B g x B = 其中 例12