第三节连续函数极限应用的一个例子主要内容：连续函数的概念初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质
第三节 极限应用的一个例子——连续函数 主要内容： 一、连续函数的概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质
连续函数连续函数是微积分研究的主要对象增量的定义设函数y=f(x)的定义域是X,当自变量从定点x变化到新的点x时,它们的差称为自变量的增量(或叫做改变量).记做Ax = x-x,,自然x = x, + △x.对应的函数值由f(x)V其差变化到f(x。+△x),y= f(x)Ay = f(x + △x)- f(xo)AyAx称作函数的增量...x0X +Arxo即Ay= f(x)-f(x)
一、连续函数 连续函数是微积分研究的主要对象. 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). y f x x f x y f x f x f x f x x = + − − + = 对应的函数值由 变化到 ，其差 称作函数的增量， 即 增量的定义 设函数 y = f (x)的定义域是X,当 自变量从定点 x0 变化到新的点x 时,它们的差 称为自变量的增量(或叫做改变量).记做 0 0 x x = − = x x x x , . 自然 + x y o y = f (x) x 0 x x + x 0 y
注意：△x可能是正的，也可能是负的.比如：xo = 2,x = 1.5;△x = x - x。 = -0.5 <0xo = 1, x = 1.5;Ax = x - x。 = 0.5 > 0
注意:Δx可能是正的,也可能 是负的.比如： 0.5 0 1, 1.5; 0.5 0 2, 1.5; 0 0 0 0 = − = = = = − = − = = x x x x x x x x x x
下面的问题帮助我们理解连续的定义：一f(x)=x+1-g(x)=x-1.......xx01102limf(x) = lim(x+1)= f(1).二x-→1x→1从图形看f(x)的曲线在x=1处是连续的x-1lim(x +1)2lim g(x) = limx-1x-→>ix-→1 x>尽管f(x),g(x)在x=1点的性质不同,但当x一→1时，它们的极限却是一样的
下面的问题帮助我们理解连续的定义： = → lim ( ) 1 f x x = f (1). 1 lim( 1) . 2 x x → + = 从图形看f x x ( ) 1 的曲线在 = 处是连续的. 1 1 2 lim ( ) lim 1 x x 1 x g x x → → = − − = 1 lim( 1) 2 x x → + = ( ) 1 , ( ) 1 , . g x x g x x = = 而 在 处没有定义 从图形看 的曲线在 处是不连续的 是间断的 ( ), ( ) 1 , 1 , f x g x x x = → 尽管 在 点的性质不同 但当 时 它们的极限却是一样的. f x x ( ) 1 = + o x y 1 。 2 1 ( ) 1 x g x x − = − x o y 1
连续函数的定义定义一设函数f(x）在U(xo,)内有定义,如果当自变量的增量x趋向于0时，对应的函数增量Ay也趋向于0，即lim Ay=0,Ar-→0或 lim[f(x+△x）-f(x,)l=0，那么就称函数Af(x)在点x,连续yy= f(x)也称x,是f(x)的连续点yArx01Xo +Arxo
连续函数的定义 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , 0 0 lim 0 lim[ ] ( 0 ) x x f x U x x y f x f f x x x x x y x f → → = + = 设函数（ ）在 内有定义 如 果当自变量的增量 趋向于 时，对应的函数 增量 也趋向于 ，即 ， 或 （ ）-（ ） ，那么就称函数 ， 也 定义一 （ ）在点 连续 是 的 称 连续点. x y 0 y = f (x) x x0 x0 + x y