-(+y沙=0 y2 为全微分方程由淡微分法号得，4仔-子上0，于是方程通解为于一=。 这里c为任意常数. 例12求解方程少=P(y+Q(,其中P,Q(连续 解将原方程改写成微分形式 (P(x)y+(x))dx-dy=0 显然M(x,)=P(x)y+Q(x),N(x,y)=-1,由此算出 aM aN MON=P(x).ay =-PCx). dy dx N 即239成立，放可知上方程有积分因子)=e恤，以以=e上a*乘上方程，得 到 (P(y+O(x0 为全微分方程用凑微分法易得 dea恤-∫(xe d=0 所以原方程的通解为e-Pa临-∫Qxe-a临d本=c 即 y=effxee 这里c为任意常数 注8可证明只要方程有解，则必有积分因子存在并且积分因子一般是不唯一的例如在例 0中就有子和=两个积分因子，进一李可知它还有积分因子 11 可+严等 注9若4(x,y)是方程(2.27)的一个积分因子，使得
26 0 ( ) 2 3 = − + y ydx x y dy 为全微分方程.由凑微分法易得， 0 2 1 2 = − y y x d ，于是方程通解为 y c y x − = 2 2 1 , 这里c 为任意常数. 例 12 求解方程 P(x) y Q(x) dx dy = + ，其中 P(x),Q(x) 连续. 解 将原方程改写成微分形式 (P(x) y + Q(x))dx − dy = 0 显然 M (x, y) = P(x) y + Q(x), N(x, y) = −1，由此算出 ( ), P(x) N x N y M P x x N y M = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ， 即(2.39)成立，故可知上方程有积分因子 ∫ = −P x dx x e ( ) µ( ) ，以 ∫ = −P x dx x e ( ) µ( ) 乘上方程，得 到 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) = ∫ + − ∫ − − e P x y Q x dx e dy P x dx P x dx 为全微分方程.用凑微分法易得 ( ) 0 ( ) ( ) = ∫ − ∫ ∫ − − d ye Q x e dx P x dx P x dx 所以原方程的通解为 ye Q x e dx c P x dx P x dx = ∫ − ∫ ∫ − ( ) − ( ) ( ) 即 + ∫ ∫ = ∫ − y e Q x e dx c P( x)dx P( x)dx ( ) 这里c 为任意常数. 注 8 可证明只要方程有解，则必有积分因子存在.并且积分因子一般是不唯一的.例如在例 10 中 就 有 2 1 ( ) x µ x = 和 2 1 ( ) y µ y = 两 个 积 分 因 子 ， 进 一 步 可 知 它 还 有 积 分 因 子 2 2 1 , 1 xy x + y 等. 注 9 若 µ(x, y) 是方程(2.27)的一个积分因子，使得
u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=dv(x,y) 则4(x,y)g((xy》也是(2.27)的一个积分因子.其中g)是任一非零可微函数下面是上结 论的一个重要应用，即分组求求积分因子 假设方程的左端可以分成两组，即 (M dx+N,dy)+(Mzdx+N2dy)=0 其中第一组和第二组各有积分因子4(x,)和山，(x,),使得 4(M+N,)=,4(M+N,)=h2 由上结论可知对任意可微函数g1和82，凸g1(心)和48（心）分别为第一，第二组的 积分因子，于是能适当选取g1与g2,使得 4g1()=482(y2) 则4(x)=4,(xy)g,(化，(xy》就是方程(2.27)的一个积分因子 例13求方程x(4dk+2xd)+y3(3vk+5x)=0 解易知 M=4N=2x,M,=3y,N,=5g,-=0业-=7， dy dx dy dx 于是4如+2x=0和3yd水+5灯=0分别有积分因子4=1和4=y子，且 y=x2y和2=y3下面关键是寻找可微函数g,和g2,使得 1×g(x2)=y3g,(y5) 所以可以选取g1(:)=,8,(日)=：2.于是由上面结论可知原方程有积分因子 4=481()=x2y, 以4=x2y乘方程两边，使之 x'y(4xydx+2x'dy)+x'y(3y'dx+5xydy)=0 成为全微分方程.用凑微分法得d(x2y)2+d(x3y)=0,因此原方程通解为 x'y2+xys=c 32
27 µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = dv(x, y) 则 µ(x, y)g(v(x, y)) 也是(2.27)的一个积分因子.其中 g(o)是任一非零可微函数.下面是上结 论的一个重要应用，即分组求求积分因子. 假设方程的左端可以分成两组，即 (M1dx + N1dy) + (M 2 dx + N2 dy) = 0 其中第一组和第二组各有积分因子 ( , ) 1 µ x y 和 ( , ) 2 µ x y ，使得 1 1 1 1 2 2 2 2 µ (M dx + N dy) = dv , µ (M dx + N dy) = dv . 由上结论可知对任意可微函数 g1 和 g2 ， ( ) 1 1 1 µ g v 和 ( ) 2 2 2 µ g v 分别为第一，第二组的 积分因子，于是能适当选取 g1 与 g2 ，使得 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 µ g v = µ g v ， 则 ( , ) ( , ) ( ( , )) 1 1 1 µ x y = µ x y g v x y 就是方程(2.27)的一个积分因子. 例 13 求方程 4( 2 ) 3( 5 ) 0 3 x ydx + xdy + y ydx + xdy = 解 易知 3 1 1 2 2 3 2 4 2 2 1 4 , 1 2 , 3 , 5 , ,0 7 y x N y M x N y M M xy N x M y N xy = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = = = = ， 于是 4 2 0 2 xydx + x dy = 和 3 5 0 4 3 y dx + xy dy = 分别有积分因子 µ1 = 1和 3 7 2 − µ = y ，且 v x y 2 1 = 和 3 5 2 v = xy .下面关键是寻找可微函数 g1 和 g2 ，使得 1 ( ) ( ) 3 5 2 3 7 2 1 g x y y g xy − × = . 所以可以选取 2 1 2 g (z) = z, g (z) = z .于是由上面结论可知原方程有积分因子 g v x y 2 1 1 1 µ = µ ( ) = ， 以 x y 2 µ = 乘方程两边，使之 4( 2 ) 3( 5 ) 0 2 2 2 4 3 x y xydx + x dy + x y y dx + xy dy = 成为全微分方程.用凑微分法得 ( ) ( ) 0 2 2 3 5 d x y + d x y = ，因此原方程通解为 x y + x y = c 4 2 3 5