§38切比雪夫不等式与大数定律 切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律 切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律
、切比雪夫不等式 定理1设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X存在 则对于任意正数,有不等式 叫X-E(e]≤2(X 或PX-E(X)ka/≥1~D
一、切比雪夫不等式 或 2 ( ) [| ( ) | ] 1 D X P X E X − − 2 ( ) [| ( ) | ] D X P X E X − 1 ( ) ( ) , X E X D X 定理 设随机变量 的数学期望 与方差 存在 则对于任意正数 ，有不等式
我们只就连续随机变量的情况来证明 证设X的概率密度为f(x),则有 x-E(X) X-E(X川≥e} f(x)a f(r)dx x-E(X ) PE x-E(X2E E ≤「(x-E(X)2f(x)b=2(
证 我们只就连续随机变量的情况来证明. 设X的概率密度为f (x)，则有 P X E X { ( ) } − = ( ) ( ) x E X f x dx − 2 2 ( ) ( ) ( ) x E X x E X f x dx − − 2 2 1 ( ( )) ( ) x E X f x dx + − − 2 D X( ) =
二、大数定律 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性概念的 系列定理统称为大数定律 Xn=∑ 两个主要结论:大量随机试验中 事件发生的频率稳定于事件的概率伯努利大数定律 测量值的算术平均值稳定于数学期望一切比雪夫大数定律
两个主要结论： 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性概念的 一系列定理统称为大数定律 事件发生的频率稳定于事件的概率 二、大数定律 = = n i n Xi n X 1 1 大量随机试验中 测量值的算术平均值稳定于数学期望 ——伯努利大数定律 —切比雪夫大数定律
定理2(切比雪夫大数定律) 设独立随机变量序列12X2…,Xn,…的数学期望 E(X1),E(X2)…,E(Xn), 和方差 D(X1),D(X2)…,D(Xn 都存在,并且方差是致有上界的,即存在某常数K 使得D(X1)<K,i=1,2,…,n,…,则对于任意的正数,有 mP∑X-∑E(X)<a 切比雪夫,Ⅱ几 切比雪夫
定理2(切比雪夫大数定律) ( ) 1 1 1 ( ) , , , , , , , ( ), ( ) , ( ), ( ), ( ) ( ), , , 1 1 1 1 1 = − = = = → n i i n i i n i 2 n 2 n 2 n E X n X n lim P D X K i 1 2 n K D X D X D X E X E X E X X X X 使 得 则对于任意的正数， 有 都存在，并且方差是一致有上界的，即存在某一常数 ， 和方差 ，， 设独立随机变量序列 ，， 的数学期望 切比雪夫