第二节随机变量函数的数学期望 维离散随机变量函数的数学期望 维连续随机变量函数的数学期望 ●二维离散随机变量函数的数学期望 ●二维连续随机变量函数的数学期望
第二节 随机变量函数的数学期望 一维离散随机变量函数的数学期望 一维连续随机变量函数的数学期望 二维离散随机变量函数的数学期望 二维连续随机变量函数的数学期望
1.问题的提出: 设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X 的期望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望 那么应该如何计算呢? 一种方法是,因为g(X也是随机变量,故应有概 率分布,它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦 我们知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把 E|g(X)计算出来
1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(Ⅺ的 分布,一般是比较复杂的 那么是否可以不先求g(X的分布而只根据X的 分布求得E(X呢? 下面的定理指出,答案是肯定的
那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？ 下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的
定理设Y是随机变量X的函数Fg(X(g是连续函数) (1)当X为离散型时,它的概率函数为p(xk)=P{X=xk}; (k=1,2…若∑g(x)(x)绝对收敛,则有 k=1 E(Y)=(X=∑g(x)P(x)
(1) 当X为离散型时,它的概率函数为p(xk )=P{X= xk }; 若 绝对收敛，则有 = = 1 ( 1,2, ), ( ) ( ) k k k k g x p x 定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数)
例1设随机变量X的概率函数为 2 0 2 p(x)0.0.20.250.20.250.1 求随机变量￥X3的数学期望 解:E(Y)=E(X3) =(-2)301+(-1)3.0.2+03.0.25+13.0.2+23:0,25+30.1=39
设随机变量X的概率函数为 求随机变量Y= X 3的数学期望 例1 3 E Y E X ( ) ( ) = 3 3 3 3 3 3 = − + − + + + + = ( 2) 0.1 ( 1) 0.2 0 0.25 1 0.2 2 0.25 3 0.1 3.9 解： X -2 -1 0 1 2 3 p(xi ) 0.1 0.2 0.25 0.2 0.25 0.1