第五节 中心极限定理
第五节 中心极限定理
中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合(或和)影响所形成的 高斯在研究测量误差理论时发现: 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的 综合影响所造成,而每一个别因素对这种综合影响中所 起的作用不大.则这种随机变量一般都服从或近似服从 正态分布
中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的 综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所 起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从 正态分布. 高斯在研究测量误差理论时发现：
中心极限定理的研究对象是独立随机变量之和∑X 或其标准化的随机变量 ∑Xk-E(C∑Xk k=1 k=1 DOX k=1
或其标准化的随机变量 = = = − = n k k n k n k k k n D X X E X Z 1 1 1 ( ) ( ) 中心极限定理的研究对象是独立随机变量之和 = n k Xk 1
定理1(独立不同分布下的中心极限定理 林德伯格定理) 设随机变量X1,X2,…,Xn…相互独立,它们具 有数学期望和方差E(X)=p,D(XA)=ak2,(k=1,2,) 记2=∑a2若X1,Xx2,Xn…满足林德伯格条件 k=1 对于任意的正数,有m∑∫(x-)3(x)=0 n I=I 其中f(x)是随机变量X的概率密度,则当→∞时有
( ) , ( ) ,( 1,2, ) , , , 2 1 2 E X = D X = k = X X X k k k k n 有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立，它们具 = = n k n k s 1 2 2 记 其 中fi (x)是随机变量Xi 的概率密度，则当n → 时 有 定理1（独立不同分布下的中心极限定理 ——林德伯格定理） 若X1 , X2 , , Xn 满足林德伯格条件： = → − − = n i x s i i n n i n x f x dx s lim 1 | | 2 2 ( ) ( ) 0 1 对于任意的正数， 有
定理1(独立不同分布下的中心极限定理 林德伯格定理) limP{Zn≤z} e 2 dt n→0 √2丌 ∑X-∑A plim P3 i=l n→0 2 √2 其中z是任意实数
定理1（独立不同分布下的中心极限定理 ——林德伯格定理） 2 2 1 lim { } 2 t z n n P Z z e dt − → − = 2 1 1 2 2 1 1 lim 2 n n i i t z i i n n k k X P z e dt − = = → − = − = 即 其中z是任意实数