延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第四章 正态分布 4.3 二维正态分布

第三节 二维正态分布

第三节 二维正态分布

若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 f(,y) 1|(x-1) exp 2丌o 以(x-)y-2)(y-42) 2 2 0<x<∞,-00<y<0 其中1,12,O1,O2,F均为常数,且G1>0,2>0, r<1.则称(X,Y)服从参数为12,O1,O2,F 的二维正态分布

若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 则称（ X,Y）服从参数为 的二维正态分布. 其中 均为常数 , 且

例1试求二维正态随机变量的边缘概率密度 解f(x)=∫(x,)d p x-1)2-2(x+AN)+(-)2a 2兀0102 -p2t-p 2σ e 1 e 小y 2,,V1-r y2rxH,则有 2

例 1 试求二维正态随机变量的边缘概率密度. ( ) ( , ) X f x f x y dy + − = 解  ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 y μ x μ x μ r r σ σ σ e e dy πσ σ r   − − − − − −    −   − = −  2 1 2 2 1 1 , 1 y μ x μ t r r σ σ   − − = −   −   令 则有

(x- ∫(x) e 2 dt 2丌 201 2丌o, A1) e 2兀G1 0<X<Q 同理 f(y)= 0<<0 2兀02

( ) 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 1 1 2 x μ t σ X f x e e dt πσ − −  − − =  2 1 2 1 ( ) 2 1 1 2 2 x μ σ e π πσ − − =  2 1 2 1 ( ) 2 1 1 2 x μ σ e πσ − − = (−    x ) 同理 ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 2 y μ σ Y f y e πσ − − = (−    y )

例2 (x-p)-2r x-1)( f(,y)= 2(1 2 2nGG,√1-r2 E(XY) o0<x<,-00<y<0 1(x-4)2xXy-a2)+(y=2)2 J-∞2v2ve2(-2)L +oo +oo 102 coV(X, Y)=E(Xr-E(X).E(r=ro,02 p(r,r)=coVr,r) D(X) D(Y)

−    x , −    y , 例2         − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 2 1 2 1 1 ( , )            x y y r x r e r f x y cov(X,Y) E(XY)   + − + −         − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 1           x y a y r x r e r x y = E(XY) − E(X)E(Y) 1  2 = r (X,Y) ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y  = = r