当u，→0,，→0时,比较判别法的实质是通项无穷小比阶8082u和(1)若u，v是同阶无穷小两个级数效n2n=1n=1敛散性相同8(2)若u,是>,的高阶无穷小,则级数收敛时n=l级数u,必收敛;正项级数及其审敛法n=8(3)若u,是v,的低阶无穷小，则级数Z,发散时,n=18级数u,必发散n=1
当 u n → 0,v n → 0时,比较判别法的实质是 通项无穷小比阶. = =1 1 (1) , , n n n n n n 若u v 是同阶无穷小两个级数 u 和 v 敛散性相同; (2)若 是 的高阶无穷小, n n u v , 1 则级数 收敛时 n= n v ; 1 级 数 必收敛 n= un ( 3 ) 若 是 的低阶无穷小, n n u v , 1 则级数 发散时 n= n v . 1 级 数 必发散 n= un 正项级数及其审敛法
unlimn->V7(1)当0<<+时,两级数有相同的敛散性u证(1)由lim对于=1082n->00 Vnun3N，当n>N时,22V.n31正项级数及其审敛法即(n>N)Vnnn22由比较审敛法的推论，得证
证 l v u n n n = → (1)由lim 0 2 = l 对于 N, 当n N时, 2 2 l l v l u l n n − + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n n n 由比较审敛法的推论, 得证. 正 项 级 数 及 其 审 敛 法 (1)当0 l + 时,两级数有相同的敛散性 lim l, v u n n n = →
注由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母,分子关于n的最高次数分别为p和q，8Z当p-q>1时,级数un(un≥0) 收敛;n=18Z当p-1时,级数Un发散.n=1:W正项级数及其审敛法2n2-3n+1例如收敛.3n'+n2+2n=173(因为p-22
注 由比较审敛法可推出如下快速的审敛法 当分母,分子关于n的最高次数分别为 p和q, 当p − q 1时, 级数 n=1 un ( 0) un 收敛; 当p − q 1时, 级数 n=1 un 发散. 例如 = + + − + 1 7 2 2 3 2 2 3 1 n n n n n 收敛. ) 2 3 2 2 7 (因为p − q = − = 1 正 项 级 数 及 其 审 敛 法
8元例如Z发散.3"tan2nn=lF3元因为n→8,3n tan元22h832(而(2)发散.n=l正项级数及其审敛法
例如 =1 2 3 tan n n n 发散 . 因为 n → , n n n 23 ~ 2 3 tan 而 = 1 23 n n 发散 . 正项级数及其审敛法
例判定下列级数的敛散性80811(2) Z(1) sinn-nn=1n=11sinn比较审敛法的极限形式，发散解 (1) lim11n>0n13n正项级数及其审敛法一n(2) limimnn181n8o3"3n4收敛,收敛Sn=1
解 (1) n n n − → 3 1 lim n n 1 sin lim → = 1 (2) n n n 3 1 1 lim − = → = 1 , 3 1 1 收敛 n= n 收敛 发散 n 3 1 正 项 级 数 及 其 审 敛 法 例 判定下列级数的敛散性 =1 1 (1) sin n n =1 3 − 1 (2) n n n 比较审敛法的极限形式, n 1