《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数 12-02 第二节 常数项级数的审敛法

若0≤u≤v,则定理288Z,收敛Eun收敛n=ln=l:8Z发散un发散=n=ln=18D若推论2un,如果有p>1,使u,(n =1,2, ..)7n=180正项级数及其审敛法则之tu,收敛;n=180如果u,≥二(n=1,2,…),则tu,发散n=1

; 1 则  收敛 n= un ( 1,2, ), 1  n =  n 如果u n 推论 2 , 1 n= 若 u n 如果有p  1 , ( 1 , 2 , ). 1  n =  n u 使 n p . 1 则  发散 n= un 定理 2 0 , n n 若  u  v 则 n=1 n v 收 敛 n=1 un 收 敛 n=1 u n 发散 n=1 n v 发散 正项级数及其审敛法

例讨论下列正项级数的敛散性80881元(2) Z(3) Z.(1)Z2n1sin3n13/n(n+ 1)1+n=1n=1n=12元元解(1) 0<u, = 2"<2"元sin二(33"3"P)8而等比级数>收敛（3)正项级数及其审敛法n=l所以，原级数收敛由比较审敛法

例 讨论下列正项级数的敛散性. n n n 3 (1) 2 sin 1    =   =1 3 ( + 1) 1 (2) n n n x x x n n d 1 (3) 1 1 0  2  = + 解 (1) n n un 3 0 2 sin   = 而等比级数 收敛. n n   =       1 3 2  所以, 原级数收敛. n       = 3 2  n n 3 2    由比较审敛法 正 项 级 数 及 其 审 敛 法

收敛80当p>时,12p-级数80p，1发散当p≤1时,n(2) Z=13/1n(n +1)n=1解 因为 un=n(n+1)(n+1)s8811ZZ而是发散的p-级数23n=1nn=2n由比较审敛法正项级数及其审敛法所以，原级数发散

解 因为 3 ( 1) 1 + = n n un ( ) 3 2 1 1 n + 而   =1 + 3 2 ( 1) 1 n n 是发散的p-级数. 所以, 原级数   = = n n 3 2 1 正 项 级 数 及 其 审 敛 法   =1 3 ( + 1) 1 (2) n n n       − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p , p 1 1   n= p n 发散. 2 由比较审敛法

8.(3) ZJndx101+n=12 1解 因为xdx0<u.Y3.3Y01+xn83又收敛.p-级数，p=店2n=l n/2由比较审敛法正项级数及其审敛法所以，原级数收敛

解 因为 x x n d 1 0    =1 2 3 1 n n 又 1 2 3 p =  所以, 原级数 x x x u n n d 1 1 0  2 + = 2 3 1 3 2 n = x x x n n d 1 (3) 1 1 0  2  = + 0  收敛. p-级数, 收敛. 由比较审敛法 正 项 级 数 及 其 审 敛 法

4.比较审敛法的极限形式8.0设u,与v,都是正项级数如果定理3n=1n=1un= l,lim则n-→00 Vh(1)当0<l<+o时,两级数有相同的敛散性;8正项级数及其审敛法(2)当l=0时,若v,收敛,则u,收敛;n=1n=180(3)当l=+o时,若v,发散,则tu,发散n=1n=1

, 1 1 设 与 都是正项级数  =  = n n n n u v 如果 lim l, v u n n n = → 则 (1)当0  l  + 时, (2)当l = 0时, (3)当l = +时, 4.比较审敛法的极限形式 定理3 , 1 若 收敛  n= n v ; 1 则 收敛  n= un , 1 若 发散  n= n v . 1 则 发散  n= un 正 项 级 数 及 其 审 敛 法 两级数有相同的敛散性;