§7.5平面及其方程 、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 自
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 §7.5 平面及其方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、平面的点法式方程 今法线向量 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的 法线向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 今唯一确定平面的条件 2 个法线向量n=(4,B,O为已知时,平面Y% 当平面/上一点M(x02y0,=0)和它的 的位置就完全确定了 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的 法线向量. ❖法线向量 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 当平面上一点M0 (x0 , y0 , z0 )和它的 一个法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面 的位置就完全确定了. ❖唯一确定平面的条件 下页
、平面的点法式方程 平面的点法式方程 已知Mx0,y2=0)为平面/上一点,n=(A,B,C为平面/的 个法线向量 设Mx,y,z)是平面I上的任一点,则有 nMoM=O 因为 n=(A,B,C), 丌 M M0M=(x-x0,y-y,2-20) 所以 A(x-x)+B(-y0)+C(z-0)=0 这就是平面/的方程,称为点法式方程 y 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 已知M0 (x0 , y0 , z0 )为平面上一点, n=(A, B, C)为平面的 一个法线向量. 设M(x, y, z)是平面上的任一点,则有 因为 n=(A, B, C), ❖平面的点法式方程 所以 A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )=0. 这就是平面的方程,称为点法式方程. 下页 → nM0 M =0 . → ( , , ) 0 0 0 0 M M = x-x y- y z-z , 一、平面的点法式方程
今平面的点法式方程 过点Mx2y0,=0)且法线向量为n=(A,B,C的平面的方程 为A(x-x0)+B(=y10)+C(-=0)=0 例1求过点(2,-3,0)且以n(1,-2,3)为法线向量的平面的 方程 解根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+32=0, x-2y+3z8=0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 过点M0 (x0 , y0 , z0 )且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )=0. (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0. 例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的 方程. 解 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 下页 ❖平面的点法式方程
今平面的点法式方程 过点Mx2y0,=0)且法线向量为n=(A,B,C的平面的方程 为A(x-x0)+B(=y0)+C(-=0)=0. 例2求过三点M(2,-1,4)、M2(-1,3,2)和MO,2,3)的平 面的方程 解我们可以用MM2×M,M2作为平面的法线向量n 因为M1M2=(-3,4,-6),M1M3=(-2,3-1), 所以 n=M1M2×M1M3=34-6=14+9-k 23 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 14(x-2)+9(y+1)-(z4)=0,即14x+9y2-15=0 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 → → i j k i j k n = + - - - = = - - 14 9 2 3 1 M1 M2 M1 M3 3 4 6 . 例2 求过三点M1 (2,-1, 4)、M2 (-1, 3,-2)和M3 (0, 2, 3)的平 面的方程. 解 所以 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 首页 过点M0 (x0 , y0 , z0 )且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程 为 A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )=0. ❖平面的点法式方程 解 我们可以用 → → M1 M2 M1 M3 作为平面的法线向量 n. 因为 → ( 3, 4, 6) M1 M2 = - - , → ( 2, 3, 1) M1 M3 = - - , 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即14x+9y-z-15=0. 因为 → ( 3, 4, 6) M1 M2 = - - , → ( 2, 3, 1) M1 M3 = - - , → → i j k i j k n = + - - - = = - - 14 9 2 3 1 M1 M2 M1 M3 3 4 6 . → → i j k i j k n = + - - - = = - - 14 9 2 3 1 M1 M2 M1 M3 3 4 6