第七章参数估计 X~P(),X~(A)2X~N(202) 数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体 推断的基本内容包括两个方面:一是依据样本寻找 总体未知参数的近似值和近似范围;二是依据样本 对总体未知参数的某种假设作出真伪判断本章先 介绍求近似值和近似范围的方法 数估 ∫在要求的精度范国内 计|区间估计{指出参教所在的区间
X~P(λ),X~(λ),X~N(μ,σ2 ) 用所获得的样本值去估计参数取值称为 参数估计. 参 数 估 计 点估计 区间估计 用某一数值作为 参数的近似值 在要求的精度范围内 指出参数所在的区间 数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体. 推断的基本内容包括两个方面:一是依据样本寻找 总体未知参数的近似值和近似范围;二是依据样本 对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.本章先 介绍求近似值和近似范围的方法. 第七章 参数估计
第7.1节点估计 1.定义总体X的分布函数为F(x;01,02,0k),6;为未知 参数(i=1,2,…,k),Ⅹ1,X2,…,Xn为来自该总体的s.r.s,若以 函数值61=6,(x1,x2,…,x)作为0的近似值,则称O为0 的估计值(抽样后),也称0;=01(X1,X2,…,Xn)为0 的估计量(抽样前).由于估计值(实数)与实数轴的点对应, 姑且又称日,为θ的点估计(量或值 即:X分布为F(x待估]选择统计量 估计量带入样本值>估计值
第7.1节 点估计 1.定义总体X的分布函数为F(x;θ1,θ2,…θk), θi为未知 参数(i=1,2,…,k),X1,X2,…,Xn为来自该总体的s.r.s,若以 函数值 (x1,x2,…,xn)作为θi的近似值,则称 为θi 的估计值(抽样后),也称 为θi 的估计量(抽样前).由于估计值(实数)与实数轴的点对应, 姑且又称 为θi的点估计(量或值). i i ˆ ˆ = i ˆ (X ,X , ,X ) ˆ ˆ i = i 1 2 n i ˆ 即: 选择统计量 估计量 带入样本值 估计值 X分布为F(x;θ)[θ待估]
2点估计方法 (1)矩估计法 将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代 布列方程或方程组,所得到的解,作为总体未知参数 的点估计的方法 例711设总体X~U(0,6),X1,X2,…,Xn为取自该总体的样本 求未知参数b的矩估计量 解因为E()0所以由=X,可解得O=2X 故未知参数的矩估计量为6=2F
2 点估计方法 (1) 矩估计法 将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代, 布列方程或方程组, 所得到的解, 作为总体未知参数 的点估计的方法. 例7.1.1 设总体 X ~ U(0, ) , X X Xn , , , 1 2 为取自该总体的样本, 求未知参数 的矩估计量. 解 因为 2 ( ) E X = , 所以由 = X 2 , 可解得 = 2X , 故未知参数 的矩估计量为 ˆ = 2X
矩估计法的步骤 汪:A=1∑x为样本k阶原点矩 设总体X的分布函数为F(x;01,02,…,0n),θ,02…,θ, 为未知参数 1求总体X的k阶原点矩 q(01,02,…,0n)=E(Xk),k=1,2,…,m, 2解方程(组) 得 q1(1,2,…,0m)=A q2(01,02,…,6m)= 62=h2(A1,A2,…,An) ·非··· qn(01,02,…,0n) em=hm(a,a 3写出矩估计量6=h(A,A2,…,An)k=1,2,…,m
矩估计法的步骤 设总体X的分布函数为 F(x; , , , ) 1 2 m , 1,2,,m 为未知参数. 1.求总体X的k阶原点矩 q ( , , , ) E(X ),k 1,2, ,m, k k 1 2 m = = 2.解方程(组) ( ) ( ) ( ) = = = m 1 2 m m 2 1 2 m 2 1 1 2 m 1 q , , , A q , , , A q , , , A 得 = = = h (A ,A , ,A ) h (A ,A , ,A ) h (A ,A , ,A ) m m 1 2 m 2 2 1 2 m 1 1 1 2 m 3.写出矩估计量 ˆ k = hk (A1 ,A2 , ,Am ) k = 1,2, ,m 注: = = n i 1 k k Xi n 1 A 为样本k阶原点矩
例72设总体X~Ua,b],求参数ab的矩估计量 解 ∈|a,b X-f(x)=b-a 其 +b E(X)= a b-a E(X dx=-(a+ab+b) b-a 3 解方程组 a+b 得 A,-3 a2 tab+b2 b=A1+√3×VA2-A 3 所求的矩估计量为=x-3∑x-x=x-3∑x-x ⅹ+√3
例 7.1.2 设总体 X ~ U[a,b] ,求参数a,b的矩估计量. 解: = − 0 其 它 x [a,b] b a 1 X ~ f(x) 2 a b dx b a x E(X) b a + = − = (a ab b ) 3 1 dx b a x E(X ) 2 2 b a 2 2 = + + − = 解方程组 = + + = + 2 2 2 1 A 3 a ab b A 2 a b 得 2 1 A2 A1 a = A − 3 − 2 1 A2 A1 b = A + 3 − 所求的矩估计量为 = = = = + − = − − = − − n i 1 2 2 i 2 i n i 1 2 n i 1 2 i (X X) n 1 b X 3 ˆ (X X) n 1 X X X 3 n 1 aˆ X 3