《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.3）函数的极限

§1.3函数的极限 、函数极限的定义 二、函数的极限的性质 自贝

二、函数的极限的性质 一、函数极限的定义 §1.3 函数的极限 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、函数极限的定义 1.自变量趋于有限值时函数的极限 今函数极限的的通俗定义 如果当x无限地接近于x时,函数(x)的值无限地接近 于常数A,则常数A就叫做函数(x)当x→>x0时的极限,记作 inf(x)=A或f(x)-)A(当x>x0) 分析 当x->x0时,f(x)->A 台当x-x0->0时,(x)-4|>0 台当x-xo小于某一正数后,x)-A4能小于给定的正数E 台任给E>0,存在8>0,使当x-x0k<时,有(x)4|<E 上页返回下 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数极限的定义 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近 于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限 记作 ❖函数极限的的通俗定义 0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→ 0 x ) 下页 1.自变量趋于有限值时函数的极限 分析: 当x→x0时 f(x)→A 当|x-x0 |→0时 |f(x)-A|→0 当|x-x0 |小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e  任给e 0 存在d 0 使当|x-x0 |d 时 有|f(x)-A|e

今函数极限的精确定义 设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义.如果存 在常数A,对于任意给定的正数E,总存在正数,使得当x 满足不等式0<x-x0<6时,对应的函数值(x)都满足不等式 f(xr-Ake 那么常数A就叫做函数f(x)当x>x时的极限,记为 imf(x)=A或f(x)>A(当x>x0) x→x 定义的简记形式 i(x)=A<VE>0,38>0,当0<x-x0k<.,有fx)-A|<E x->x0 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存 在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x 满足不等式0<|x-x0 |d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e  那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限 记为 ❖函数极限的精确定义 0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→ 0 x ) •定义的简记形式 e >0 d >0 当0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )。 下页

if(x)=AVE>0,30,当0<x-x<o8,有(x)A|<E x->x0 今函数极限的几何意义 VE>0: 彐δ>0 当0<x-x<6时,(x)-4|<E: f(x) A A 0 6x。x0+6 页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 A y=f(x) x0 ❖函数极限的几何意义 当0|x-x0 |d 时 |f(x)-A|e : e >0: d >0: A-e A+e x0-d x0+d 下页 e>0 d>0 当 0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )

if(x)=AVE>0,30,当0<x-x<o8,有(x)A|<E x->x0 例1证明limc=c x->x0 证明因为e>0,Vb>0,当0<x-x0k<时,都有 (x)-A|=c-cl=0<E, 所以limc=c x→>x 分析 (x)-A|=(c-c=0. >0,Vδ>0,当0<x-xo<o时,都有(x)4<E 首页 上贝 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 所以 c c x x = → 0 lim  例 1 证明 c c x x = → 0 例1 lim  证明 因为e>0 d>0 当0|x-x0 |d 时 都有 |f(x)-A|=|c-c|=0e  e>0 d>0 当 0<|x-x0 |<d 有|f(x)-A|<e  0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(x→x0 )。 下页 分析: |f(x)-A|=|c-c|=0. e>0 d>0 当0|x-x0 |d 时 都有|f(x)-A|e 