第四章随机变量的数字特征 例检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命如下: A:2000150010005001000;B:15001500100010001000: (单位:小时,试比较这两批灯泡质量的好坏 计算得:平均寿命分别为:A:1200:1200 一数学期望 观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好 1方差
例.检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命如下: A: 2000 1500 1000 500 1000; B:1500 1500 1000 1000 1000; (单位:小时),试比较这两批灯泡质量的好坏. 计算得:平均寿命分别为:A:1200,B:1200, 观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好. 数学期望 方差 第四章 随机变量的数字特征
第4.1节数学期望 1定义I:(离散型)设离散型随机变量X的分布律为P{x=Xn2=pn=1,2, 若级数∑x,D1绝对收敛则称该级数的值为x的数学期望或均值记为 EX d p 均值 若∑xPn非绝对收敛即级数∑xn|Pn发散, 则称X的数学期望不存在 例如: X-10 2 P0.20.10403 则EX=∑x,D=1×02+0×0,+1×0.+2×0.3=0.8 注意数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均
第4.1节 数学期望 1.定义Ⅰ:(离散型)设离散型随机变量X的分布律为P{x=xn}=pn ,n=1,2,..., 若级数 绝对收敛,则称该级数的值为X的数学期望或均值,记为 n n n x p EX= n xn pn 若 n n n x p ,非绝对收敛,即级数 n xn pn | | 发散, 则称X的数学期望不存在. 均值 例如: X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 则 EX= n n n x p =-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8 注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均
例411某种电子元件使用寿命Xf(x)=1W0 e 100o x>0 x≤0 规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时 之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品产值为 30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值 分析:平均产值即为产值的数学期望所以先求产值的概率分布 解:设Y表示产值,yY取值为0,10,30,40, P(Y=0)P(X<500 o /(x)dx=o inmo e adx =1-e-0s P{Y=10 1000 1000 =e0.5g-1 P{500≤X<1000} 500100 类似可得:P{Y=30}=e--e-15,PY=40}=e15 所以,EY=0×(1-e5)+10×(e05-e-1)+30×(e1-e15)+40×e15 1565(元)
例4.1.1.某种电子元件使用寿命X~ = − 0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时 之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品,产值为 30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值. 分析:平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布. 解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P{Y=0}=P{X<500} − = 500 f (x)dx − = 500 0 1000 1000 1 e dx x =1-e -0.5 P{Y=10} = P{500≤X<1000} − = 1000 500 1000 1000 1 e dx x =e-0.5 -e -1 类似可得: P{Y=30}=e-1 -e -1.5 , P{Y=40}=e-1.5 所以, EY=0× (1-e -0.5)+10 × (e-0.5 -e -1 )+30×( e-1 -e -1.5 )+40× e -1.5 =15.65(元)
定义Ⅱ(连续型):设X是连续型随机变量X-f(x),若 ∫。y(x)d绝对收敛则称该积分值为的数学期望记为 Ex∫9(xk 否则称X的数学期望不存在 例如若X服从a,b区间上的均匀分布即X~f(x)=1b=a x∈[a,b 0 其它 yb 则EX=xf(x)d=x.dbc a+b b-a 2 2 数学期望反映了连续型随机变量的平均取值
定义Ⅱ(连续型):设X是连续型随机变量,X~f(x),若 + − xf (x)dx 绝对收敛,则称该积分值为X的数学期望,记为: EX= + − xf (x)dx 否则,称X的数学期望不存在. 例如:若X服从[a,b]区间上的均匀分布,即X~ = − 0 其它 [ , ] 1 ( ) x a b f x b a 则 EX= + − xf (x)dx − = b a dx b a x 1 a b x b a 2 2 1 1 − = 2 a + b = 数学期望反映了连续型随机变量的平均取值
2数学期望的性质: (1)E(c)=c (2)E(aX)=aE(X); E(X+Y=EX+EY (4)若X与Y是独立的,则E(XY=EXEY 证明:(2) 离散型X aX ax, ax,... ax Pp p2 n E(ax)=ax p+ax2 p2+.+axn pn+=aE(X) 连续型X-fx(x,Y=ax,则,Y 不妨设a>0, EYc+∞ + yfr(ydy y-x()dy=al ∫x()d(=) +0 z =a 3x(z)dz=aEX
2.数学期望的性质: (1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+Y)=EX+EY (4) 若X与Y是独立的,则E(XY)=EXEY 证明:(2) 离散型 X x1 x2 ... xn ... P p1 p2 ... pn ... aX ax1 ax2 ... axn ... P p1 p2 ... pn ... 则 E(aX)= ax1 p1+ax2 p2+ ...+axn pn+...=aE(X) 连续型:X~fX(x),Y=aX,则,Y~ ( ) | | 1 a y f a X ,不妨设a>0, EY = = + − yf y dy Y ( ) + − dy a y f a y X ( ) 1 + − = ( ) ( ) a y d a y f a y a X + − = a zf z dz X 令 ( ) =aEX z a y =