§7.5曲面及其方程 曲面方程的概念 二、旋转曲面 、柱面 四、二次曲面 自
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 §7. 5 曲面及其方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃 四、二次曲面
、曲面方程的概念 在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 x,y,z)=0 FO 有下述关系: S (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足x 方程F(x,y,z)=0, 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方 程F(x,y,z)=0的图形 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方 程F(x, y, z)=0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x, y, z)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足 方程F(x, y, z)=0, ❖曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0 有下述关系: 下页
例1建立球心在点M6(x0,y02=0)、半径为R的球面的方程 解设M(x,y,z)是球面上的任一点,那么 MOMER 即 (x-x)2+(y-y)2+(x-=0)2=R 或 (xx0)2+(y-y0)2+(2-20)2=R 因为球面上的点的坐标一定满足上 述方程,而不在球面上的点的坐标都不 满足这个方程,所以上述方程就是所求 的球面的方程 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 建立球心在点M0 (x0 , y0 , z0 )、半径为R的球面的方程. 解 设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么 |M0M|=R, 或 (x−x0 ) 2+(y−y0 ) 2+(z−z0 ) 2=R2 . 因为球面上的点的坐标一定满足上 述方程, 而不在球面上的点的坐标都不 满足这个方程, 所以上述方程就是所求 的球面的方程. 下页 即 x−x + y− y + z−z =R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( )
例2设有点4(1,2,3)和B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分 面的方程 解由题意知道,所求的平面就是与A和B等距离的点的几 何轨迹 设M(x,y,)为所求平面上的任一点,则有 AMBM, 即 (x-1)2+(y-2)2+(2-3)2=√(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2 等式两边平方,然后化简得 2x-6y+2z-7=0 M 这就是所求的平面的方程 B A 首页上页返回下页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, −1, 4), 求线段AB的垂直平分 面的方程. 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几 何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|=|BM|, 等式两边平方, 然后化简得 2x−6y+2z−7=0. 这就是所求的平面的方程. 下页 解 即 2 2 2 2 2 2 (x−1) +(y−2) +(z−3) = (x−2) +(y+1) +(z−4)
研究曲面的两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和间的一个方程时,研究这方程所表示 的曲面的形状 例3方程x2+y2+2-2x+4y0表示怎样的曲面? 解通过配方,原方程可以改写成 (x-1)2+(y+2)2+2=5 这是一个球面方程,球心在点M1-2,0)、半径为R=5 般地,三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+F2+G=0 的图形就是一个球面 直贝 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示 的曲面的形状. ❖研究曲面的两个基本问题 通过配方, 原方程可以改写成 (x−1) 2+(y+2) 2+z 2=5. 一般地, 三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0 的图形就是一个球面. 首页 例3 方程x 2+y 2+z 2−2x+4y=0表示怎样的曲面？ 解 这是一个球面方程, 球心在点 (1, 2, 0) M0 − 、半径为 R= 5