第五章大数定律与中心极限定理 第52节大数定律 一、大数定律 定义设随机变量序列{X},如果存在一个常数a,使得对任意的 E>0,有 lim PX nasa= n→ 则称依概率收敛于a,记作X,P)a 定义设随机变量序列{Xn},记Yn=1/n(x1+x2+…+Xn),如果存在 个常数序列an,使得对任意的e>0,有 lim Px -an<Ej-1 则称随机变量序列{X}服从大数定律
第五章 大数定律与中心极限定理 一、大数定律 定义 设随机变量序列{Xn}，如果存在一个常数a，使得对任意的 ε>0，有 − → P Xn a n lim =1 则称依概率收敛于a,记作 X a p n ⎯→ 定义 设随机变量序列{Xn}，记Yn =1/n(X1+X2+…+Xn)，如果存在一 个常数序列an，使得对任意的ε>0，有 − → n n n lim P X a =1 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律 第5.2节 大数定律
、切比绍夫不等式 设随机变量X的方差存在这时均值也存在),则对任意 正数:有下面不等式成立 PNX-E(X)< D(X) 22 PIX-E(X)K821-(X)
二、切比绍夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意 正数ε有下面不等式成立 2 ( ) {| ( )| } D X P X − E X 2 ( ) {| ( )| } 1 D X P X − E X −
例521设X~f(x)={n x>0 用切贝绍夫不等式证明 0 0 n P{0<X<2(n+1)≥ n 证明:X「+,x x,ed=n+11注:xe-=r!l xm!d=(an+1)(n+2) 所以,DX=EX2-(EX)2=n+1 P{0<X<2(n+1}=PX-EXk<n+1}[这里=n+1 n+1 n (n+1)2n+1
例5.2.1.设X~ = − 0 0 0 ( ) ! x e x n x f x x n 用切贝绍夫不等式证明 1 {0 2( 1)} + + n n P X n 证明: EX = e dx n x x x n − + ! 0 =n+1 [ !] 0 x e dx n n x = + 注： − EX2= e dx n x x x n − + ! 0 2 =(n+1)(n+2) 所以, DX=EX2 -(EX)2=n+1 P{0 X 2(n +1)} = P{| X − EX | n +1} 2 ( 1) 1 1 + + − n n + 1 = n n [这里,ε=n+1]
课堂练习 1.设随机变量X的方差D(X)=0.0001, 则由切比绍夫不等式可知 PXE(X)-3×001}2(7、0.000 0.03 2.设随机变量X~E(1/m),用切比绍夫 不等式证明 P{-1<X<2n+1}2(2n+1)/(n+1)(n+1) 3.设P{X-E(X川e不小于0.9,D(X)=0.009.则用 切比绍夫不等式估计的最小值是(0.3)
1. 设随机变量X的方差D(X)=0.0001, 则由切比绍夫不等式可知 P{|X-E(X)|<3×0.01}≥( ). 2. 设随机变量X~E(1/n),用切比绍夫 不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1) 3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于0.9,D(X)=0.009.则用 切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( ). 课堂练习 2 0.03 0.0001 1− 0.3
4894)设随机变量X的数学期望为μ, 标准差为G,则由切比绍夫不等式 P{X-3}≤( 5.设随机变量X的分布律为 P{X=0.3}=0.2,P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 X-E(X)|<02的概率
4.(894) 设随机变量X的数学期望为μ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 P{|X-μ|≥3σ}≤( ). 5. 设随机变量X的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率. 1/9