《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.6）极限存在准则两个重要极限

§1.6极限存在准则两个重要极限 、准则I及第一个重要极限 二、准则Ⅱ及第二个重要极限 自贝

一、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 §1.6 极限存在准则 两个重要极限 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、准则I及第一个重要极限 今准则I 如果数列{xn}、{n}及{n}满足下列条件: (1)ynxn≤n(n2=1,2,3,…·) (2) lim yn=a n→00 n→)0 那么数列{xn}的极限存在,且 lim x=a.>> n→)00 今准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件: (1)g(x)≤f(x)≤h(x) (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A 那么imf(x)存在,且 lim f(x)=A 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、准则I及第一个重要极限 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3    ) ❖准则 I ❖准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2) yn a n = → lim  zn a n = → lim  下页 那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim  >>>

今第一个重要极限 lim sinx x->0x 简要证明参看附图,设圆心角∠AOB=x(0<x<x) 显然BC<AB<AD,因此sinx<x<tanx, 从而cosx<snx<1(此不等式当x<0时也成立) 因为 I lim cosx=1 D x->0 根据准则I, lim 3w x->0x 页返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第一个重要极限 显然 BC AB AD ( 因此 sin x x  tan x  D B 1 O C A x 1 sin lim 0 = → x x x  简要证明 参看附图 设圆心角AOB=x ( 2 0   x ) 从而 1 sin cos   x x x (此不等式当 x0 时也成立) 因为lim cos 1 0 = → x x  根据准则 I  1 sin lim 0 = → x x x  下页

今第一个重要极限 lim sinx x->0x 在极限hmsa(中,只要a(x)是无穷小,就有 lim Sina(r) 这是因为,令=a(x),则v->0,于是 lim sina(r) -lim snu=1 a(x) u-0 u 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: 这是因为 令u=a(x) 则u→0 于是 在极限 ( ) sin ( ) lim x x a a 中 只要a(x)是无穷小 就有 1 ( ) sin ( ) lim = x x a a  ( ) sin ( ) lim x x a a 1 sin lim 0 = = → u u u  下页 ❖第一个重要极限 1 sin lim 0 = → x x x 

lim sInx 1 lim sina(x (a(x)->0 x->0x 例1求lim tanx x-)0x r+ im tanx=lim Sinx 1 解1 lim Sinx.lim >0x x-0 x COSX x-0 x x-o coSx 例2求lim COSX x->0x 2Sm22 解 COSX m x->0x x->0x 2 2x-0x )2 SInA\2 = -lim 2 x->0 X 2 自贝 上页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 1 sin lim 0 = → x x x  1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)→0) 例 例 11 求 x x x tan lim →0  解 x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解 解   x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解  x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x 解  x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 =  → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 =  = → x → x x x x  解 例 例 22 求 2 0 1 cos lim x x x − →  首页 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 =  =         = → x x x  2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ =