《高等数学》课程教学资源：第一章 函数与极限（1.5）极限运算法则

§1.5极限运算法则 今无穷小的性质 今极限的四则运算法则 自贝

❖无穷小的性质 ❖极限的四则运算法则 §1.5 极限运算法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃

今无穷小的性质 °定理1有限个无穷小的和也是无穷小 证明仅就两个x→>x时的无穷小情形证明 设a及B是当x>x0时的两个无穷小,则vE>0, 彐61>0,当0<x-x<o61时,有a<E; 82>0,当0<x=x0ka2时,有<E 取δ=min{a,a2},则当0<x-xk<时,有 a+B<a+B<28 这说明a+B也是当x→>x0时的无穷小 举例:当x>0时,x与sinx都是无穷小,所以x+sinx也是当 k>0时的无穷小 首页页返回结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 设及是当x→x0时的两个无穷小 则 0 10 当0|x−x0 |1 时 有||  20 当0|x−x0 |2 时 有||  取 =min{1  2 } 则当0|x−x0 |时 有 这说明+ 也是当x→x0时的无穷小 |+|||+||2  •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 仅就两个x→x0时的无穷小情形证明 举例: 当x→0时 x与sin x都是无穷小 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小 下页

今无穷小的性质 °定理1有限个无穷小的和也是无穷小 °定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明设函数在x0的某一去心邻域{x(0<x-x0k<61}内 有界,即彐M>0,使当0<x-x<时,有M 又设a是当x>x0时的无穷小,即VE0,存在a>0,使当 0<x-xok<a时,有(a <8 取min{61,a},则当0<x-x<6时,有 lu d=ua<Me 这说明v也是当x-→>x时的无穷小 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|x−x0 | 1 }内 有界 即M0 使当0|x−x0 |1时 有|u|M 又设是当x→x0时的无穷小 即0 存在20 使当 0|x−x0 |2时 有||  取=min{1  2 } 则当0|x−x0 | 时 有 |u|=|u|||M  这说明u 也是当x→x0时的无穷小 证明 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 下页

今无穷小的性质 °定理1有限个无穷小的和也是无穷小 °定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小 举例:当x→时,是无穷小, arctan x是有界函数 所以1 arctan x也是无穷小 首页上页返回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 举例 : 当 x→时 x 1 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以 x 1 arctan x 也是无穷小 •推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 •推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 首页

今极限的四则运算法则 ●定理3 如果limf(x)=A,img(x)=B,那么 (1)liml(x)+g(x)=limf(x)tling(x)=A+B>>> (2)lim f(x) g(x)=im f(x).lim g(x)=A.B (3)im f(x) lim f(x n(B≠0 g(x) lim g(x) B 推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则 lim[c f(x)=c limf(x) 推论2如果 limf(x)存在,而n是正整数,则 limff(x)=limf(x)Im 页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB •推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim[cf(x)]=climf(x) •推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n  •定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 下页 ❖极限的四则运算法则 (3) B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim (B0) (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB >>>