§84多元复合函数的求导法则 设=(x,y),而=0(0y=(),如何求? 设z=f(v,),而v=9(x,y),v=(x,y),如何求和? ax 自
§8.4 多元复合函数的求导法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃 设 z=f(u v) 而 u=(t) v=(t) 如何求 dt dz ？ 设 z=f(u v) 而 u=(x y) v=(x y) 如何求 x z 和 y z ？
今中间变量为一元函数的情形 定理1如果函数=0()及v=1都在点团可导,函数=f(,y) 在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=0(,w在点 可导,且有 >> dt au dt av di °定理1的推广 设z=(,v,1),l=(t),v=v(,w=o(t), dz az du az dv az d dt au dt ay dt aw dt 上述在称为全导数 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u v w) u=(t) v=(t) w=w(t) 则 下页 >>> 定理1 如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导 函数z=f(u v) 在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数z=f[(t) (t)]在点 t可导 且有 dt dv v z dt du u z dt dz + = •定理1的推广 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = ❖中间变量为一元函数的情形 上述 dt dz 称为全导数
设z=(,V),=0(,v=(,则女_0.a-0z,dh dt au dt ay dt 今中间变量为多元函数的情形 定理2如果函数=0x,y),=(x,y)都在点x,y)具有对x及 y的偏导数,函数二=(u,v)在对应点(,y)具有连续偏导数,则复 合函数0x,y),(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有 azaz au az av ax au ax ay ax 定理1的推广 设z=f(,v,1),l=(x,y),v=(x,y),=(x,y),则 azaz au az ay az a Dz au az av az aw + ax au ax ay ax ow ax Ou ay Ov ay aw a 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = dt dv v z dt du u z dt dz + 设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 = 定理2 如果函数u=(x y) v=(x y)都在点(x y)具有对x及 y的偏导数 函数z=f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数则复 合函数z=f[(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在且有 ❖中间变量为多元函数的情形 •定理1的推广 设z=f(u v w) u=(x y) v=(x y) w=w(x y) 则 x w w z x v v z x u u z x z + + = y w w z y v v z y u u z y z + + = 下页
设z=f,v),l=0(,v=(0),则_az.daz.dh dt au dt 设二=fn,y),=0(x,y),v=v(x,y),则 azaz au az av azaz au az av Ox Ou ax av ax ay ou dy ov a 例1设=c"sm,=x,m=x+y,求和 ax 解 azaz au az av Ox au ax ay ax =esin v.+ecoS v1=exyly sin(x+y)+cos(x+y)] =59y =esin vx+ecos v I=e yx sin(x+y)+cos(x+y)] 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = 设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 例 1 设 z=e u sin v u=xy v=x+y 求 x z 和 y z 例1 解 x v v z x u u z x z + = 解 =e xy =e [y sin(x+y)+cos(x+y)] usin v +e 1 u y cos v y v v z y u u z y z + = =e usin v =e xy +e 1 [x sin(x+y)+cos(x+y)] u x cos v dt dv v z dt du u z dt dz + 设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 = 下页
设z=f,v),l=0(,v=(0),则_az.daz.dh dt au dt 设二=fn,y),=0(x,y),v=v(x,y),则 azaz au az av azaz au az av Ox Ou ax av ax ay ou dy ov a 讨论: (1)设=f,v),=g,y),v奶_,=? OX (2)设z=f(,x,y),且v=m(x,y),则 提示 (1) az au az dv Ou ay av dy az af Ou af az of Ou, of Ox au ax'ax’ ay Ou ay ay 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = 设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 dt dv v z dt du u z dt dz + 设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 = (1)设 z=f(u v) u=(x y) v=(y) 则 = x z ？ = y z ？ (2)设 z=f(u x y) 且 u=(x y) 则 = x z ？ = y z ？ 讨论 提示 (1) x u u z x z = dy dv v z y u u z y z + = (2) x f x u u f x z + = y f y u u f y z + = (1) x u u z x z = dy dv v z y u u z y z + = (2) x f x u u f x z + = y f y u u f y z + = 下页