§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 自贝
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 §1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、连续函数的和、积及商的连续性 今定理1 设函数(x)和g(x)在点x连续,则函数 f(x)+g(x),f(x)3(x,<) (3(当g(x)≠0时) 在点x也连续.>>> 例1因为sinx和cosx都在区间(-∞,+∞)内连续, 所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的 三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在 其有定义的区间内都是连续的 首页返回下页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、连续函数的和、积及商的连续性 ❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 f(x)g(x) f(x)g(x) ( ) ( ) g x f x (当 g(x0 )0 时) 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在 其有定义的区间内都是连续的 首页 >>>
二、反函数与复合函数的连续性 今定理2 如果函数(x)在区间上单调增加(或减少)且连续,那 么它的反函数x()在区间={y=f(x),x∈x}上也是单 调增加(或减少)且连续的 例2由于y=six在区间[,Z上单调增加且连续, 所以它的反函数y= arcsin x在区间[-1,1上也是连续的 同样, y-arccos x在区间[-1,1上是连续的 y= arctan x在区间(-∞,+∞)内是连续的 y= arccot x在区间(-∞,+∞)内是连续的 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、反函数与复合函数的连续性 ❖定理2 如果函数f(x)在区间I x上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数x=f -1 (y)在区间I y ={y|y=f(x) xI x }上也是单 调增加(或减少)且连续的 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 下页 例 例 2 2 由于 y=sin x 在区间 ] 2 , 2 [ - 上单调增加且连续 同样 y=arccos x 在区间[-1 1]上是连续的 y=arctan x 在区间(- +)内是连续的 y=arccot x 在区间(- +)内是连续的
二、反函数与复合函数的连续性 今定理2 如果函数(x)在区间上单调增加(或减少)且连续,那 么它的反函数x()在区间={y=f(x),x∈x}上也是单 调增加(或减少)且连续的 例2由于y=six在区间[,Z上单调增加且连续, 所以它的反函数 y-arcsin x在区间[-1,1上也是连续的 反三角函数 arcsin x、 arccos x、 arctan x、 arccot x在 它们的定义域内都是连续的 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在 它们的定义域内都是连续的 下页 二、反函数与复合函数的连续性 ❖定理2 如果函数f(x)在区间I x上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数x=f -1 (y)在区间I y ={y|y=f(x) xI x }上也是单 调增加(或减少)且连续的 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 例 例 2 2 由于 y=sin x 在区间 ] 2 , 2 [ - 上单调增加且连续
今定理3 设函数y=g(x)由函数y=f()与函数v=g(x)复合而成, U(x)Dg.若lmg(x)=0,而函数y=(a)在连续,则 x→x lim fig(x)l=lim f(u)=f(uo)>7> x→)x l→ 例3求lim x-3 x→3Vx2-9 解im,x x→) x2-9Vx3x2-9V6 x-3 y= 是由y=V与l=3 -3 复合而成的 imx-3=1,函数y=V在点=1连续 上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: (1)把定理中的x→x0换成x→可得类似的定理 (2)定理的结论也可写成 lim [ ( ) ] [lim ( ) ] 0 0 f g x f g x x→x x→x = 提示: 9 3 lim 2 3 - - → x x x 6 1 = 函数 y = u 在点 6 1 u = 连续 ❖定理3 例 例 33 求 9 3 lim 2 3 - - → x x x 解 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 解 = 下页 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 Df g U x ( 0 ) 若 0 lim ) 0 g x u x x ( = → 而函数 y=f(u)在 0 u 连续 则 lim [ )] lim ( ) ( )0 0 0 f g x f u f u x x u u ( = = → → 解 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 解 = 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 = 9 3 2 - - = x x y 是由 y = u 与 9 3 2 - - = x x u 复合而成的 >>>