2.等价关系的三条性质: )反身性:一个向量组与它本身是等价的; 2)对称性:如果向量组A与向量组B等价,那么向 量组B与向量组A也等价; 3)传递性:若向量组A与向量组B等价,向量组B与 向量组C等价,则向量组A与向量组C是等价的。 3.向量组等价与矩阵秩的关系 (1)若向量组A与B所构成的矩阵依次记为A、B,则 向量组B能被向量组A表示的充要条件是,一定 存在矩阵C使得B=AC
2.等价关系的三条性质： 1)反身性：一个向量组与它本身是等价的； 2)对称性：如果向量组A 与向量组 B 等价，那么向 量组 B 与向量组 A 也等价； 3)传递性：若向量组A与向量组B等价，向量组B与 向量组C等价，则向量组A与向量组C是等价的。 3.向量组等价与矩阵秩的关系： (1)若向量组A与B所构成的矩阵依次记为A、B，则 向量组 B 能被向量组A 表示的充要条件是，一定 存在矩阵 C 使得 B = AC
设A=(an,a2,…,an,B=(b,b2…,b,由于向量组 璀由向量组A线性表示,即对向量b(=1,2,…,p) 存在实数x1,x2…,xm使 b=x1a1+x21a2+…+xm1m=(m1,2…,m 从而(b,b2…,bn)=(a1 即B=AC
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( 1,2,..., ) , ,..., ... ( , ,..., ) ... ... ( , ,..., ) ( , ,..., ) m p i i i mi i i i i i mi m m mi p m B A i p x x x x x x x x x x x x = = = = + + + = = A a a a B b b b b b a a a a a a b b b a a a 设 ， ，由于向量组 能由向量组 线性表示，即对向量 存在实数 使 从而 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... p p m m mp x x x x x x 即B AC =
反之若存在矩阵C,有B=AC,则 12 (b1,b2,…,b,)=(a1 12 所以B列向量可被的列向量线性表示 2)设矩阵4与B是行等价的,即矩阵A经过行的初等 变换变为矩阵B,则B矩阵的每个行向量都是4的行 向量的线性组合,即B行向量可由4的行向量线表 示;由于初等变换是可逆变换,矩阵B亦可经初等 行变换变为矩阵4,从而A的行向量也可由B的向量
11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ( , ,..., ) ( , ,..., ) ... ... ... ... ... p p p m m m mp x x x x x x x x x = = C B AC b b b a a a B A 反之若存在矩阵 ，有 ，则 所以 的列向量可被 的列向量线性表示. (2) A B A B B A B A B A A B 设矩阵 与 是行等价的，即矩阵 经过行的初等 变换变为矩阵 ，则 矩阵的每个行向量都是 的行 向量的线性组合，即 的行向量可由 的行向量线表 示；由于初等变换是可逆变换，矩阵 亦可经初等 行变换变为矩阵 ，从而 的行向量也可由 的向量
线性表示,于是A的行向量与B的行向量等价 同理,若矩阵B与A列等价,则B与的列向量也等价. (3)线性方程组的线性组合、线性表示与等价 若线性方程组某一方程是其余方程作线性运算 而得到的,称该方程为其余方程的线性组合,同时 也称该方程可由其余方程线性表示。若方程组中每 方程均可被方程组B的方程线性表示,称方程组 A可被方程组B线性表示;若方程组A与B可相互线性 表示,称方程组A与B等价。显然,等价方程组有相 同的解
(3) A A B A B A B A B A B B A B A 线性表示，于是 的行向量与 的行向量等价. 同理，若矩阵 与 列等价，则 与 的列向量也等价. 若线性方程组 中某一方程是其余方程作线性运算 而得到的，称该方程为 线性方程组的线 其余方程的线性组合，同时 也称该方程可由其余方程线性表示。若方程组 中每 一方程均可被方程组 中的方程线性表示，称方程组 可被方程组 线性表示；若方程组 与 可相互线性 表示，称方程组 性组合、线性表示与 与 等价。 等价 显然，等价方程组有相 同的解
定理2向量组B:b,b,,b能由向量组Aa,a2,,an 线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,,an)的秩等于 矩阵(4B)=(a,a2,,an|b,b2,,bn)的秩,即 R(A=R(A B) 证明:向量组B被向量组A线性表示,即存在矩阵C使 得B=AC,即矩阵方程AX=B有解,而该矩阵方程 有解的充要条件是R(A)=R(A|B) 推论.向量组B:b,b2,,b被向量组A:a1,a2,,an线 性表示,R(B)≤R(A 推论2.向量组B:b,b2,,b与向量组4:a,a2,an等 价的充要条件R(4)=R(B)=R(4|B)
1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ( ) ( ) ... ... ( ) ( ) ( | ) 1 2 p m p m B A R R B A RRR = = b b b a a a B A b b b a a a A B A B 向量组 ： , , , 被向量组 ： , , , 线 性表示， 向量组 ： , , , 与向量组 ： , , , 等 价的充要条件 推论 . 推论 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ( ... ) ( ... | ... ) ( ( | ) 2 ) p m m m p B A R R B A = = = = = b b b a a a A a a a A B a a a b b b A A B C B AC AX B 向量组 ： , , , 能由向量组 ： , , , 线性表示的充要条件是矩阵 , , , 的秩等于 矩阵( | ) , , , , , , 的秩，即 向量组 被向量组 线性表示，即存在矩阵 使 得 ，即矩 定理 . 阵方程 有解， 证明： 而该矩阵 ( ) ( | ). R R A A B = 方程 有解的充要条件是