例设向量a1=(1122)、a2=(1213) a3=(1-140)、a=(1031),证明向量a能由 向量组a、a2、a1线性表示,并求表达式 解.设A=(a,a2,a3),B=(a1a2a3|a) 当R(A)=R(B)时,a可被a1,a2,a线性表示,为此 把矩阵B化为行最简矩阵 103|2 2-10 01-2-1+01-2-1 B 0000 230 02-4 0000 所以R(A)=R(B)=2,且a=2a1-a2
T T 1 2 T T 3 1 2 3 (1 1 2 2) (1 2 1 3) (1 1 4 0) (1 0 1 3 1) = = = − = a a a a a a a a 设向量 、 、 ， 例 证明向量 能由 向量组 、 、 线性表示，并求 . 表达式. 4 3 3 2 2 1 4 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 ( , , ) ( , , | ) ( ) ( ) , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 2 1 ~ ~ 2 1 4 3 0 1 2 1 0 0 0 0 2 3 0 1 0 2 4 2 0 0 0 0 ( ) r r r r r r r r r r r r R R R − + − − − − = = = − − − − − = − − − A a a a B a a a a A B a a a a B B A 设 ， ， 当 时， 可被 线性表示，为此 把矩阵 化为行最简矩阵 所 解 以 . 1 2 = = = − R( ) 2 2 B a a a ，且
例2设月1=0B2=1/3=1B4=13,判 断B可否由B、2、B线性表示? 解设B=(月,B2B3B)=011:3 乃+ni 3:5 113:5 02 3 011:3 022:6 000:0 000:0 所以R(B1,B2B3)=R(B)=2,故β可被月、B2 线性表示,且B4=2B1+32+03
1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 5 . 0 1 1 3 , 1 1 1 1 2 = = = = − − β β β β β β β β 设 判 断 可否由 、 、 例 线性表示？ 3 1 3 2 1 2 1 2 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 1 3 5 ( , , | ) 0 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 5 1 1 3 5 1 0 2 2 ~ 0 1 1 3 ~ 0 1 1 3 ~ 0 1 1 3 0 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , : ) ( ) 2 2 3 0 r r r r r r R R + − − = = − − = = = + + B β β β β β β β B β β β β β β β β 设 所以 ，故 可被 、 线性表示，且 解
例设向量a1=(1-11-1)、a2=(3113) b1=(2011)、b2=(1102)、b3=(3-120), 证明向量组a、a2与b、b2、b等价 证明:设A=(an,a2),B=(b1,b2,b2) 当R(A)=R(B)=R(AB肘时,两向量组等价 3:213)(13:213 而(A|B) 11:01-104:222 11102 02:11 13:120 04:222 13:213 02:11 00000 所以R(A)=R(B)=R(A|B)=2 00:000
T T 1 2 T T T 1 2 3 1 2 1 2 3 (1 1 1 1) (3 1 1 3) (2 0 1 1) (1 1 0 2) (3 1 2 3 0) = − − = = = = − a a bbb a a b b b 设向量 、 、 、 ， 证明向量组 、 与 、 、 例 . 等价. 4 3 3 2 2 1 4 2 3 2 1 2 1 2 3 1 2 ( , ) ( , , ) ( ) ( ) ( | ) 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 0 4 2 2 2 ( | ) ~ 1 1 1 0 2 0 2 1 1 1 1 3 1 2 0 0 4 2 2 2 1 3 2 1 3 0 2 1 1 1 ~ ( ) ( ) ( | ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r r RRR RRR + + + − − = = = = − − = − = = A a a B b b b A B A B A B A B A B 设 ， 当 时，两向量组等价. 而 ，所以 证明： = 2
例4.设m维向量组ka1,a2…,an构成了n×m价矩阵 A,阶单位向量e1,e2,en构成了m阶单位矩阵E, 证明:m维单位向量e,e2,en能由向量组线性表 示的充要条件是R(4)=n 证明:维单位向量e,e2,…,tn能由向量组线性表 示的充要条件是R(A)=R(A|E) 而R(A|E)≥R(E)=n, 又R(A|E)≤min{n+m,n} 所以R(A)=R(A|E)=n
1 2 1 2 1 2 ,..., ,..., ,..., ( ) m n n n A n m n n n A R n = a a a A e e e E e e e A 设 维向量组 ： , 构成了 阶矩阵 ， 阶单位向量 , 构成了 阶单位矩阵 ， 证明： 维单位向量 , 能由向量组 线性表 示的充要条件是 例4. . 1 2 ,..., ( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | ) min{ , } ( ) ( | ) . n n A R R R R n R n m n n R R n = = + = = = e e e A A E A E E A E A A E 维单位向量 , 能由向量组 线性表 示的充要条件是 而 ， . 所 证 以 ： 又 明
本例用方程的语言可描述为: 方程A,X=E有解的充要条件是R(4)=n 用矩阵的语言可描述为: 对矩阵A存在矩阵Q,使AQ=E的充要条件是 R(4)=1; 对矩阵A存在矩阵Pm,使PA=E的充要条件是 R(4) 显然,当m=时,P、Q便是4的逆矩阵
( ) ( ) ( ) n m n n m m n n n m m n m R n R n R m m n = = = = = = = A X E A A Q AQ E A A P PA E A P 本例用方程的语言可描述为： 方程 有解的充要条件是 用矩阵的语言可描述为： 对矩阵 存在矩阵 ，使 的充要条件是 ； 对矩阵 存在矩阵 ，使 的充要条件是 显然，当 时， 、Q A 便是 的逆矩阵