线性空间的判定 线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不 可,要证明一个集合是线性空间必须逐条验证 若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构 成线性空间,只需说明在两个封闭性和8条运算规 律中有一条不满足即可
线性空间中两种运算的 8 条运算规律缺一不 可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证． 若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构 成线性空间，只需说明在两个封闭性和8 条运算规 律中有一条不满足即可． 一、线性空间的判定
例1.设R是全体正实数集合,R是实数集合在 R+上定义了两种运算 加法:对任意a,b∈R+,ab=ab 数量乘法:对任意a∈Rt,k∈R,koa=a, 判断R对这两种运算是否构成数域R上的线性 空间? 解:Q1∈R∴R≠任取a,b∈R+,k,l∈R Qa>0,b>0,ab=ab>0,a⊕b∈R Qa>0,koa=a>0,∴koa∈R+ 即R+对于上述定义的加法和数量乘法运算是封 闭的
, , : : , , . : , , , ? 1 , . , , , 0, 0, 0, . 0, 0, . k k R R R a b a b ab R a k R k a R a R R R R R a b k l R a b a b ab a b R a k a k a a R + + + + + + + + + + + = = = = o Q Q Q o o 设 是全体正实数集合 是实数集合 在 上定义了两种运算 加法 对任意 数量乘法 对任意 判断 对这两种运算是否构成数域 上的线性 空间 即 解： 任取 例1. R 对于上述定义的加法和数量乘法运算是封 闭的
(ab=ab= ba=be a 2)(aeb)ec=(ab)oc=(ab)c=a(bc) =ad(bc)=a⊕(b⊕c); (3)1∈R,1⊕a=1a=a,:1是R中的零元素 (4)Qa>0,∴->0,即一∈R+,a-=a-=1 (零元)∴ch的负元素是 (5)(k+1)oa=ak aea=koa⊕loa
(1) ; (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); (3) 1 , 1 1 , 1 ; 1 1 1 1 (4) 0, 0, , 1 1 ( ) ; (5) ( ) k l k l a b ab ba b a a b c ab c ab c a bc a bc a b c R R a a a a a a R a a a a a a k l a a a a + + + + = = = = = = = = = = = = + = = Q o 是 中的零元素 即 零元 的负元素是 ; k l = = a a k a l a o o
(6)(k)oa=a=(a)=(a ko(loa (7)(a0b)=ko(ab)=(ab)=abk (koa(kob)=(koa)o(kob (8)1oa C R对上述定义的加法和数量乘法构成R上 的线性空间
1 (6) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) (7) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ); (8) 1 . l k kl k l k k k k kl a a a a l a k l a k a b k ab ab a b k a k b k a k b a a a R R + = = = = = = = = = = = = o o o o o o o o o o o 对上述定义的加法和数量乘法构成 上 的线性空间
子空间的判定 例2.设A为n价实对称矩阵,问在什么条件下满 足XX=0的n维实向量X=(x,x2,xn)构 成R的子空间? 解:令V={X∈R"|XAX=0} Q0∈卩,卩≠p 显然,若X∈V,则kX∈V 即(kX)(kX)=k2(X4X)=0 又若X、Y∈V,只要X+Y∈V即V就是子空间
T 1 2 T T 2 T , 0 ( , ,..., ) ? | 0 , . , , . ( ) ( ) 0 ( ) , n n n n n x x x k k k k = = = = = = + 例2. Q A XAX X R V X R XAX 0 V V X V X V X A XAX X X Y V X Y V V 设 为 阶实对称矩阵 问在什么条件下满 足 的 维实向量 构 成 的子空间 令 显然 若 则 即 又若 、 只要 即 就 解： 是子空间. 二、子空间的判定