二、n维向量的运算 设x=( ,)y=( 规定x+y=(x1+y,,x+yn) 维向量空间 切n维向量所构成的集合,按上面规定 的两种运算,可以验证它是符合下面八条运算 法则,这样的n维向量的集合称为n维向量空 间。记为Rn
1 2 1 2 1 1 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( ,..., ) ( , ,..., ) n n n n n x x x y y y x y x y x x x = = + = + + = x y x y x 设 规定 二、n维向量的运算 一切 n 维向量所构成的集合，按上面规定 的两种运算，可以验证它是符合下面八条运算 法则，这样的 n 维向量的集合称为 n 维向量空 间。记为 Rn 。 三、n维向量空间
1. a+b=b+a 2.(a+b)+c=a+(b+c) 3.a+0=a 4.a+(-a)=0 5.(2a)=(A) 6.(+a=+a 7. n(a+b=na+nb 三
1. 2. ( ) ( ) 3. 4. ( ) 5. ( ) ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. 1 + = + + + = + + + = + − = = + = + + = + = a b b a a b c a b c a 0 a a a 0 a a a a a a b a b a a
第二节向量的线性相关性
第二节 向量的线性相关性
、线性组合与线性表示 1.定义:设有向量组A:a1,a2,an及向量a, 若存在m个实数x1x2…xm,使 =x,a,+x、L+L+ 成立,则向量a称为向量组a1a2…,amn的一个 线性组合,或称向量a可由向量组a1,a2,an 线性表示 若向量a可由向量组Aa1a2,an线性表示,那 么向量方程a=xa1+x2a2+…+xnan有解
一、线性组合与线性表示 1.定义：设有向量组A：a1 ,a2 ,…,am及向量a， 若存在 m 个实数 x1 ,x2 ,…,xm，使 成立，则向量 a 称为向量组 a1 ,a2 ,…,am的一个 线性组合，或称向量 a 可由向量组 a1 ,a2 ,…,am 线性表示。 若向量a可由向量组A: a1 ,a2 ,…,am线性表示，那 么向量方程 有解. 1 1 2 2 m m a a a a = + + + x x x L 1 1 2 2 ... m m a a a a = + + + x x x
定理1向量a能由向量组a1,a2…,an(m2)线性表 示的充要条件矩阵A=(a1,a2,…,amn)的秩等于矩阵 B=(a1,a2…,ana)的秩。 二、等价向量组 1定义2:如果向量组A:a1a2,n中的每个向 量均可被向量组B:b1,b2,,b线性表示,则称 向量组A可被向量组B线性表示,若向量组A 与B可以相互线性表示,则称向量组A与B等 价
定理1.向量a能由向量组a1 ,a2 ,…,am(m≥2)线性表 示的充要条件矩阵A=(a1 ,a2 ,…,am)的秩等于矩阵 B= (a1 ,a2 ,…,am,a)的秩。 二、等价向量组 1.定义2：如果向量组 A：a1 ,a2 ,…,ar 中的每个向 量均可被向量组 B：b1 ,b2 ,…,bs 线性表示，则称 向量组 A 可被向量组 B 线性表示，若向量组 A 与 B可以相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等 价