第二次作业 21 1已知两个线性变换{x=-2y+3y2+2y,{y2=2=+3,求从,2,=到x,x,x 4J x3=4y1+y2+5y3 的线性变换 解:由已知可得 201 0 yyy x3 y3 201/-310 x2 232120 233 12-49 10-116 2设A=-111,B=13-1,求1)AB-2A2)A2-B 214 3)(A+B)(A-B) 4)AB-BA 5)A B 2 解:1)AB-2A=-111×13-1-2|-111 422 426 22 22 222 2 402 2-2 204 2)A2-B2=-111-13 311 210 -3-117 3-1 0-10)(-8-120 3)(A+B)A-B)=040-2-22|=-8-88 305 2-3
ԛ֝ұᆴྜ 1.ᏆⶹϸϾ㒓ᗻবᤶ, 1 13 2 12 3 3 12 3 2 232 4 5 x yy x yy y x yy y ì = + ï í =- + + ï î = ++ , 1 12 2 13 3 23 3 2 3 y zz y zz y zz ì =- + ï í = + ï î =- + ,∖Ң 123 zzz , , ࠄ 123 xxx , , ⱘ㒓ᗻবᤶ. 㾷˖⬅Ꮖⶹৃᕫ˖ 1 11 1 2 22 2 3 33 3 1 1 2 2 3 3 2 01 3 1 0 2 3 2 2 0 1 4 15 0 13 2 01 3 1 0 6 1 3 2 3 2 2 0 1 12 4 9 4 1 5 0 1 3 10 x yy z x yy z x yy z x z x z x z æö æö æö æö æö æ ö - ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ ç ÷ =- = èø è ø - èø èø èø èø æö æö æ öæ ö - - ç÷ ç÷ ç ÷ç ÷ =- = - è øè ø - - èø èø g ˈ 1 2 3 1 16 z z z æ öæ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø - è ø 2.䆒 1 11 12 1 1 1 1, 1 3 1 1 11 2 1 4 æ öæ ö ç ÷ç ÷ =- = - è øè ø - A B ˈ∖ 1˅ AB A - 2 2˅ 2 2 A B- 3˅( )( ) A BA B + - 4˅ AB BA - 5˅ T A B 㾷˖1) 1 1 1 12 1 1 1 1 2 1 1 1 13 1 2 1 1 1 1 11 2 1 4 1 11 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - =- ´ - - - è øè ø è ø - - AB A 464 2 2 2 242 222 2 2 2 400 206 2 22 024 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ = -- = è øè ø è ø - 2) 2 2 2 2 1 1 1 12 1 111 13 1 1 11 2 1 4 æ öæ ö ç ÷ç ÷ - =- - - è øè ø - A B 1 13 59 3 4 8 0 1 1 1 2 10 6 3 11 7 3 11 7 3 9 4 4 8 æ öæ ö æ ö - - ç ÷ç ÷ ç ÷ =- - - - =- - è øè ø è ø - --- 3) 2 3 2 0 1 0 8 12 0 ( + )( ) 0 4 0 2 2 2 8 8 8 3 0 5 1 2 3 5 13 15 æ öæ ö æ ö - -- ç ÷ç ÷ ç ÷ - = ×- - =- - è øè ø è ø --- -- - AB A B
464)(024(440 AB-BA=22 2 353|=5-3-1 206)5-17 222 5)AB=11-1113-1=04-4 3.计算计算矩阵的乘积 431(7 570八(1 4×7+3×2+1×1 35 232=1×7+(-2)×2+3×1=6 570 5×7+7×2+0×1 2 解:(123)2|=(1×3+2×2+3×1)=(10) 10 62-20 3 21400-12 解: 21400-12
4) 464 0 2 4 4 4 0 222 3 5 3 5 3 1 206 5 17 3 1 1 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - = -- = - - è øè ø è ø - -- AB BA 5) T 1 1 1 12 1 22 2 =1 1 1 1 3 1 0 4 4 1 1 1 21 4 46 4 æ öæ ö æ ö - ç ÷ç ÷ ç ÷ - -= - è øè ø è ø A B 3ˊ䅵ㅫ䅵ㅫⶽ䰉ⱘЬ⿃ 1˅ 4317 1 23 2 5701 æ öæ ö ç ÷ç ÷ - ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ 4 3 1 7 4 7 3 2 1 1 35 1 2 3 2 1 7 ( 2) 2 3 1 6 5 7 0 1 5 7 7 2 0 1 49 æ öæ ö æ ö æ ö ´ + ´ +´ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ - = ´ +- ´ + ´ = è øè ø è ø è ø ´+´+´ 2˅( ) 3 1232 1 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 㾷˖( ) 3 1 2 3 2 (1 3 2 2 3 1) (10) 1 æ ö ç ÷ = ´+´+´ = ç ÷ è ø 3˅ ( ) 1 1 32 10 2 3 æ ö ç ÷ - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø 㾷˖ ( ) 1 3 2 10 1 3 210 32 10 2 6 2 20 3 9 6 30 æö æ ö - ç÷ ç ÷ - -- - = - èø è ø - 4˅ 13 1 2 1 40 0 1 2 1 134 1 3 1 40 2 æ ö ç ÷ æ ö - ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ è øç ÷ è ø - 㾷˖ 13 1 2 1 40 0 1 2 6 7 8 1 1 3 4 1 3 1 20 5 6 40 2 æ ö æö æö ç ÷ - - ç÷ ç÷ ç ÷ = èø èø - - -- ç ÷ è ø -
x1x2x3川a21a x1x2x3川a12 xx =(a,x+a122+a,3x, 12*+a2-2+a23 a,3x1+a2-2+a33x3)xx2 a1x2+a2x2+a3x2+2a2x1x2+2a3x3+2a2x2x3 6)100a21a 00 010)a1a2a 解:100 7 01 00k 00 解 01 00 00k 32100 10/1031 21 210 000100 1252 0 0 012-4 0 0-2300-43 0003八(000-3)(000-9 100 k01
5˅( ) 11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 31 32 33 3 aaa x xxxa a a x aaa x æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ ( ) ( ) 11 12 13 1 1 2 3 12 22 23 2 13 23 33 3 1 11 1 12 2 13 3 12 1 22 2 23 3 13 1 23 2 33 3 2 3 222 11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 222 aaa x xxx a a a x aaa x x ax ax ax ax ax ax ax ax ax x x a x a x a x a xx a xx a xx æ öæ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø æ ö = ++ ++ ++ ´ ç ÷ ç ÷ è ø =+++ + + 6˅ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 010 100 001 aaa aaa aaa æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ 11 12 13 21 22 23 21 22 23 11 12 13 31 32 33 31 32 33 010 100 001 aaa aaa aaa aaa aaa aaa æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ = è øè ø è ø 7˅ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 100 010 0 0 aaa aaa aaa k æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 100 010 0 0 a a a a a ka a a a a a ka a a a k a a ka æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ = è øè ø è ø 8) 1210 10 3 1 0101 01 2 1 0021 00 2 3 0003 00 0 3 æ öæ ö ç ÷ç ÷ - - è øè ø - 㾷˖ 1210 10 3 1 12 5 2 0101 01 2 1 01 2 4 0021 00 2 3 00 4 3 0003 00 0 3 00 0 9 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - - = - - è øè ø è ø - - 9) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 100 010 0 1 aaa aaa aaa k æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø
a21a2a23‖010|=a21+ 31a2a3八k01 n(n 4设A=0k1,求A,A3并证明A"=0k λ10)λ10 解:A2=021‖01=0x22元 004八(00x A3323元) A=A2.A=033元 00A 和k(k-1)2k-2 2 假设n=k时,4=0x4kx+1(k≥2)成立 则当n=k+1时: ak k2k-1 k( Ck A(k+1)2h!(k+1)k A+=A·A=02 0 (k+1)1 00λ 2k+1 -1n(n 1) n-2 由数学归纳法原理知:A=0x 00 5设A、B为n阶方阵,且A为对称矩阵,证明BAB也是对称矩阵 证明:因为A=A,所以(BAB)=BA(B)=B1AB 6设A、B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA 证明:因为A1=A,B=B
㾷˖ 11 12 13 11 13 12 13 21 22 23 21 23 22 23 31 32 33 31 33 32 33 100 010 0 1 a a a a ka a a a a a a ka a a a a a k a ka a a æ öæ ö æ ö + ç ÷ç ÷ ç ÷ = + è øè ø è ø + 4.䆒 1 0 0 1 0 0 k k k æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A ˈ∖ 2 3 A A, .ᑊ䆕ᯢ 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 nn n n nn n n n k nk k k nk k - - - æ ö - ç ÷ = è ø A 㾷˖ 2 2 2 2 10 10 2 1 0 10 1 0 2 00 00 0 0 l l l l l l ll l l l æ ö æ öæ ö ç ÷ = = ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø ǹ 3 2 32 3 2 3 3 3 0 3 0 0 ll l l l l æ ö ç ÷ = ×= ç ÷ è ø A AA ؛䆒 n k = ᯊˈ 1 2 1 ( 1) 2 0 ( 2) 0 0 kk k k kk k k k k k k ll l l l l - - - æ ö - ç ÷ = ³ è ø A ៤ゟDŽ ߭ᔧ n k = +1ᯊ˖ 1 2 11 1 1 1 11 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 1 0 0 0 1 0 ( 1) 00 0 0 0 0 kk k k k k kk k k k k k k kk k k k k A AA k k ll l l l l l ll l l l l l l - - +- - + - +- + æ öæ ö - + + ç ÷ç ÷ æ ö = ×= = + ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø ⬅᭄ᄺᔦ㒇⊩ॳ⧚ⶹ: 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 nn n n nn n n n n A n ll l l l l - - - æ ö - ç ÷ = è ø 5.䆒 AǃB Ў n 䰊ᮍ䰉ˈϨ A Ўᇍ⿄ⶽ䰉ˈ䆕ᯢ T B AB гᰃᇍ⿄ⶽ䰉. 䆕ᯢ˖Ў T A A = ˈ᠔ҹ T T T T TT T ( ) () B AB B A B B AB = = 6.䆒 AǃB 䛑ᰃ n 䰊ᇍ⿄ⶽ䰉ˈ䆕ᯢ AB ᰃᇍ⿄ⶽ䰉ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ AB BA = . 䆕ᯢ˖Ў T T A AB B = =
充分性:AB=BA→AB=BA=(AB) 即AB是对称矩阵 必要性:(AB)=AB→AB=(AB)=BA=BA 7设A是n阶对称矩阵,且A=O,证明A=O 解:设A=(an)mn,由于A=A且A2=O,所以 42=AA 0→∑q2=01=12,,m) ∑ →an=0(,j=1,2,…,n)→A=O 8求下列矩阵的逆矩阵 1000 2130 00 5-4 解 (1)A= A1=5,A21=2×(-1),A12=2×(-1),A2=1 A Au Ai 5 A A12A2 (2)A=012,|A|=1 001 A1=1A2=0A3=0A2 A23=0A41=7 2A3
ߚܙᗻ˖ TT T AB BA AB B A AB =Þ = = ( ) े AB ᰃᇍ⿄ⶽ䰉. ᖙ㽕ᗻ˖ T T TT () () AB AB AB AB B A BA =Þ= = = . 7.䆒 A ᰃ n 䰊ᇍ⿄ⶽ䰉ˈϨ 2 A O= ˈ䆕ᯢ A O= 㾷˖䆒 ( )ij n n a A = ´ ˈ⬅Ѣ T A A = Ϩ 2 A O= ˈ᠔ҹ 2 1 1 2 2 1 2T 2 2 1 1 2 1 0( 1,2,..., ) n j j n j n j ij n j ij j n nj j a a ai n a a = = = = = æ ö ç ÷ = = =Þ = = è ø å å å å å A AA O 0 ( , 1,2,..., ) ij Þ = = Þ= a ij n A O 8.∖ϟ߫ⶽ䰉ⱘ䗚ⶽ䰉 1) 1 2 2 5 æ ö ç ÷ è ø 2) 12 3 01 2 00 1 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 3) 12 1 34 2 5 41 æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø - 4) 1000 1200 2130 1214 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 㾷 (1) 1 2 2 5 æ ö = ç ÷ è ø A A =1 11 21 12 22 AA A A = = ´- = ´- = 5, 2 ( 1), 2 ( 1), 1 11 21 12 22 5 2 2 1 * æ ö æ ö - = = ç ÷ ç ÷ è ø è ø - A A A A A ᬙ˖ 1 1 5 2 2 1 - * æ ö - = = ç ÷ è ø - A A A (2) 12 3 0 1 2 | | =1 00 1 æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A A ˈ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 AA A A AA A A A = = = =- = = = =- = 1 0 0 2 1 0 7 2 1