aEP,.-aEP,(x-α)"EPx)问题2设f(α)=(x-a,).(α-a)+1，其中a，α是互不相同的整数，求证：f（α)在有理数域上可约的充分与必要条件为f（α）是一个整系数多项式的完全平方。证明：充分性显然，现证必要性。因为f（x）为整系数多项式，又f（α）在有理数域上可约，则f（α）可分解为两个非零次整系数多项式的乘积。可设f(x)=g(x)h(x),因为f(a)=1（i=1，2，*，n），g(a)，h(a）同时为1或～1,即g(a,)=h(a,).又因为a°(g)<n，a(h)<n，g(α)=h(x)，故f(x)=g"(x).设，，为互异的整数，求证：问题3f(x)=I(x-a)-1i1在Q上不可约。证明：反证法，设f(x)可约，则f(α）可分解成两个整系数多项式之积，即f(x)=g(x)h(x).又f(a,)=-1, : g(a,)+h(a)=0. : a(g(x))<n,a（h(x))<n，a1，，a彼此不同，故g(α)+h(x)=0，：g(x)=一h(x)，可得f(x)=-g(x),然而与(x)为首一的多项式矛盾。问题4设入1，，入是m个在有理数域Q上线性无关12
的复数，f，(x），"，f（α），gα）都为Q上的一元多项式且g(x)在Q上不可约，证明：如果对于g(α)的每根α，等式af(α)=0i=1成立，那么g(x）lfi（x）（i=1，2，.，m）证明：设f(x)=g(x)h(x)+d(x）（i=1,2,,m)这里h(x)，d(x）为Qα）上的多项式，而d(x)=0或a°(d,(x))<a(g())。对于g(x)的每一个根α，,f(α)=0，：,d(α)=0，因为g(x）在Qx上不可约，故i=1二,d(x)，若,d()率0，g(x)无重根，这样g(αx)i则a0 (Znd;(x) )≥0(g(x),矛盾。故入d（x）=0，特别取x=r（有理数），有in二入,d(r）0，因d(r）为有理数，又入1，，入在Q上线性无关，：d(r)=0，d(x)=0，即g(x)lf(x）（i=1,.m).问题5设a,，，a,为n个彼被此不等的实数，f(x)，，f.α）为n个次数不大于（n一2）的实系数多项式，求证13
f.(a.)..f!(a,)...f.(a.)f,(a.)...f.(a.)...f,(a.)=0f.(a.)...f.(a,)...f.(a,)证明：设f,(x)f.(a.)...f.(a.)g(x)=f(x)f(a) ...f(a,)f.(x)f.(a2).""f.(a.)则g(x)=0或a°（g(α))≤n-2，若为前者结论当然成立。设g(x)丰0而g(a2)=g(a,)=.=g(a)=0，这样，g(x)有n1个不同的根，矛盾，：g(x)=0，从而，g(a,）=0.问题6设F【α]表示数域F上一元多项式的全体，D;Fx]→F【α]为F】到自身的一个映射，满足下列条件：(i)D(αf+βg)=aD(f)+βD(g);(ii)D(f·g)=D(f)g+f.D(g);(iii) D(x)= 1,这里f，g为F{α)中任意多项式，α，β是F中的任意数.求证D(f)=f!（f表示f的导数）14
证明：1）先证Dx"=nx"-1，对n进行归纳1°n=1时成立。2°设n-1时成立，证明n时成立，事实上Dx=D(xx"-1)=xDx-I +x~1Dx=x(n—1)x-2+x"-1 -(n-1)x-+-1=x-12）D(1)=0．事实上: D(1)=D(1.1)=D(1)+D(1),.. D(1)= 0.3）设f()=a+-1-1++ax+a2.Df(x)=a,Dx+a.-,Dx"-I+...+a,Dx+Da。=na,x-1+.*.+a,D(1)=nax-1++a,=f'(x)问题7若f(α)f(×）（f()≠0），求证：f(α)有n重根，这里n=a°(f(x))。证明：在复数域上考虑，设f(x)=a(x-1,)k1(x-^)k2...(x—Am)km,m≥2,因而入,为f(x)的（k;一1）重根。因（,一1)++(km—1)=n一m<n一1，：f（x）除入，，入外还有其他根，这样与f/（α）lf(x）矛盾，故m=1，即f(α）有n重根。问题8设f(α)为复数域内n次多项式，且f(0)=0，令g(x)=xf(x)，若f(x)lg(x)，则g(x）有n+1重零根.证明：g'(x)=f(α）+xf(x).f'(x)lg'(x),：f'(x)If(x).又f(0)=0，由问题7得f(x）有n重零根，故g(α)有n十1重零根。问题9令F【α】表示数域F上的一元多项式全体，而15
f.(x)EFxi-1.2.d=(f.....，f），则有921g2 #AgEF[x]，使aIA|=d.证明：首先说明d=0时结论显然是成立的，因而下面证明中d+0。与），我们若d=（f.，.，f.)，则1能够证明这种情况结论成立，即存在ffdd92192nAr使gn1gnLA,/=故有f1f.92921AAl=d#1gan这样我们只证上述特殊情况，对n用归纳法。1°n=2时，：（f，f）=1，：日u，0使16