uf.+vf,=1.A=1.结论成立：再来看n=3的情况设d，=（f，f），当d,=0时，：1=（ff2，f），故f为非零常数，有00A=0000-1只要适当取k可使A|=1在d，0时，：（d，f，）=1，这样日u，，s，t使，uf,+uf=d.,sd,+tf,=1.取fif2fs0-uUAs而|A|=1.tftf-Sdd.2°设n一1成立，证明n时成立（n≥3）：事实上，设（f.，f2，，f-,）=d，d,=0时情况同n=3的证明。现设d，≠0，我们可由归纳假设得到ff.dd,921g2.n-1***++9.-1.9n-1.117
因(df)=1，3u,u,使ud,+uf,=1.取fif.-1f...0921.....g2m~A=09.-1.19,--1,n-f4d.d而|A=1，因而结论成立问题10设（f(x），gα))=1，g为n维向量空间V的线性变换，又f（g)g(g)=0，则(i)VV,+V2,其中f(o)u,=0, g(a)uz-0(u,evi, vev,) .,使ii）存在基e"，e，e+.qei,.",e.,e.+l.证明：（i）：（f(x)，g))=1，故日u(x)，s(x)使uf+sg=1.所以u(α)f(α)+s(a)g(g)=I，这里I为V的恒等线性变换，令V,=(u(o)f(g)x/xEV),V,=(s(o)g(g)x/xEV),则V.，V，显然为V的子空间，且V=V，+V2.令xnV即日x，x使x。=u(o)f(o)x,=s(0)g()x2。18
:I=u(a)f(o)+s()g(a),..x。=u(g)f(o)x,+s(g)g(g)x。=u()f(g).s()g(g)xz+s(α)g(o)u(o)f(o)x..f(g)g(o)=g(o)f(o)=0,. x-0, 即V-V,+V..(ii令e.,.，e,为V的基，e+!，..，e.为V.的基，因a(s(g)g(o)x)=s(a)g(α)(gα)EV故V,为g的不变子空间，同样V也为的不变子空间，故gei, , e, er+i, ..问题11设a(t）为实数域R上的多项式（i=1，2,"，m），，，入为彼此不同的R上的数，求证a,(t)eht++a(t)emt=0ai(t)=0,i=1,2,...,m.证明：（←）显然成立。（）对m用归纳法，1°m=1时，结论不证自明，设m=2，:a(t)eit+a,(t)ea2t=0:α,(t)e(1-/a)t+a(t)=0,故(1)a,(t)eit=-a,(t).这里=入，一入，十0，对（1）式两边求导得到：a(t)e"+Aa(t)e=(-a(t))(),.....(cia(t)+c}-'ali-(t)++ca,(t))e19
=(-α2(t))i),......(cα(n(t)+c-1α-1)(t)+...+A"ca,(t))e"= 0,这里n充分大时，有ca(t)+Ac-"(t)α-1)(t)+..+"c,a(t)=0.因入0，可见α,(t)按降幂排列时没有非零的项，即α,(t)三0，从而a(t)=02°设m一1时正确，证明m时正确（m≥2），事实上,:a,(t)eait+..+am(t)eamt=0,.a,(t)e(^1-Am)t++am--(t)e(Am-1-Am)t(2)=-a(t).设元，=入一入≠0，对（2）两端求导数，直至使右端为0，得到(a(t)+c.-a(t)+.+Nica,()et+.+(cjam, (t) +...+.c,am--(t))em-i = 0,元，.，-，为彼此不同的数，由归纳假设知ca（t）++ca(t）=0.：0，因而α(t)=0，i=1，2,m一1，从而am(t)=0，结论成立。这就说明入，，入彼此不同时，ea1t，…，eam在P[上线性无关，这里P为数域。问题12试证xp*-1xpt-1-1在有理数域上不可约，这里为正整数，力丰2为素数。20
证明：=1时，易证成立，这里省略，我们设k>1，而原式为(xpt-)"-1(xpt-1)p-1+(xbt-1)P**+..bk-1--1+xp-1+1.令x=y+1,.xpk-1=(y+1)pk-1=ybk-1+pyf(y)+1（用二项式定理展开可得此结论），故原式=[(ypx-1+1)+pyf(y)P-1+[(ypt-1+1)+pyf(y))P-2+..+((ypk-1+1)+pyf(y))+1=(yp-1+1)*-1+pyp,(y)+(ypk*+1)P-2+pyp.(y)++(ypk-1+1)+pyf(y)+1.考虑(ypk-1+1)P-1+(ypk-1+1)P-2+...+(yp-1+1)+1(ypk-1)p-1+cp-1(ypt-1)p-*+cp-l(ypk*)p-s+..+1+(ypk-1)-*+cp-2(yb-1)P-*+.+1+(y..-).*+..+1+....=(ybt-1)p-1+ p(yp-1)p-2 + p(p=1)-(ybt-1)p-s2++p,故原式=（bk-1)p-1+py)+p，因而原式不可约。问题13（1）设f（x)，g(α)是数域P上两个互素的多项式，其次数分别为n及m，r.（x)，r2（α）是数域P上两个多项式，其次数分别小于n及m。1）求证：存在唯一的一个次数小于n十m，系数属于P的多项式F(x)，使得用f(x)除F(α）余式为r(α)，而用g(x)除F(x)余式为r2（x）.21