这里c中0，P(α）为首一的不可约多项式，≠时pα）卡p（x)i，j=1，2，，s)，称（1）为fx)的标准分解式。三、置因式定义p(x)为P上的不可约多项式满足p(x)If(α），而pt+1(x）f(x)，称p(α)为f(x)的h重因式（这里k为非负整数）：当k=0时，p（α）不为f（x）的因式，当h=1时，称p(α)为f(x)的单因式；当>1时，称p(x）为f(x）的重因式.定理4.2若不可约多项式(α）是f(x）的k重因式（≥1）则（x）是f（x）的（h一1）重因式推论1不可约多项式p()是f()的重因式<p()为f(α)与f"(α)的公因式。推论2f(x)无重因式<(f(x)，f'())=1。85有理系数多项式定义设f(α）为整系数多项式，如果f(α）的各项系数的最大公因数是1，称f（α)为本原多项式两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。引理1设非零的整系数多项式f（α）在有理数域Q上可引理2约，则f（α）必能分解为两个次数较f（x）低的整系数多项式的乘积。（Eisenstein）设整系数多项式定理5.1f(x)=ax"+a--1+..+a,x+a。(a+0,n≥1),如果存在素数p，使得pla;（i=0，1，2，，n1），7
pa，且p×ao，则f(x）在有理数域上不可约。86复、实系数多项式代数基本定理任何次数不小于1的复系数多项式必有一个复数根。可将代数基本定理改述为：任何次数不小于1的复系数多项式必有一个次因式x一℃（c为复数）由此可知，对于复系数多项式，仅一次式是不可约的，因而，其分解因式定理如下。定理6.1任何n（n≥1）次复系数多项式f(x)必有唯一的标准分解式f(x)=a,TT(x-c,)ri,其中α,是fα)的首项系数，C;（i=1，2，，1）为互异复数，r，（i=1，2，，1）为正整数。推论任何n（n≥1）次复系数多项式恰有n个复根。定理6.2任何n（n≥1）次实系数多项式必有唯一的标准分解式f(x)=a, II(x-ci)ri.I(x"+P,x+q,)li,其中，a,是f(α）的首项系数，c；（i=1，2，，s）及p，q,（j1，2，，t）都是实数，r（i=1，2，，s）及1.（j=1，2，*，t）都是正整数，且×2+十q,不可约，即p?-4gi<0(j=1,2,,t).推论对于实系数多项式，仅一次式及形如x+x十g8
而p2一4q<0的二次式不可约，37多元多项式为了实用上的需要，以下均设1，2，，取自某一数域P的n个变数。称axh2x为一单项式，这里aEP,称为单项式的系数，k为非负整数，当a半0时称它为单项式x的次数（i=1，2，，n）而h=h,+k，++h为此单项式的次数。如果两个单项式中的所有x，的次数对应相同，称这两个单项式为同类项。一些单项式的和f(x1,, x,) = Z a..k1"",ka称为n元多项式。我们总认为n元多项式中各个单项式彼此不同类。在n元多项式中，称系数非零的单项式的最大次数为这个多项式的次数，如果n元多项式中不存在系数非零的单项式，则称为零多项式。定义n元多项式f(x)与g(α)，如果同类项的系数全部对应相等，称其为相等。命题1数域P上的n元多项式f（1，，x）与g(1,…）相等的>对于P中的任一组数，，，，恒有f(51,E2,",5)=g(51,52,"",5).对于两个不同的单项式axhi... xkn,(1)bfo... ,(2)9
果k=l，=l，k=l面k>l（n≥1,s≥1），则称（1）先于（2）：将多项式中的各项，按上述规定先后顺序排列，称为字典排列法。按照字典排列法写出的多项式的第一项称为多项式的首项，但首项的次数未必为多项式的次数，命题2设f(x2",x）午0，g（2，,）0则乘积f（x，，)g（，，x）的首项等于f的首项与g的首项的乘积。推论1如果f(x，，）+0，g(x，",x)0则f(xi,.x)g(x.x)+0.推论2如果f(x，….，x)h(x,,，)=g(x,.)h(x,,x）且h(x,",x）中0，则f(x，"，x)=g(x1,", x.).定义如果f（x1，，x）的所有单项式都为s次的，称f（α1，*α）为s次齐次多项式。命题3设f（，，）0，g（，，）0均为齐次多项式，其积的次数等于于的次数与9的次数之和.88对称多项式定义如果对任何j，1<i，≤n，恒有f(xi,,xi，,xi，",)=f(x,",xi，,xi,",x),称f（αt，，x）为对称多项式。在n元对称多项式中，下列n个多项式是最基本的：10
a,-x,+x,+..+x.-X:-0=++++++-M一X;21O,=X,x2x..称，，.为初等对称多项式。、定理8.1对于数域P上的任一对称多项式f（α1，。α），必可找到P上唯一的一个多项式g（y，"，y.），使得f(x1,.,x)=g(o1,",o,).问题探讨问题1设P为数域，(i）如果(α)，2(x)，，p(x)为数域P上的r个两两不同的不可约的首项系数为1的多项式，证明f(x)=（x)()p(α）在复数域上无重根；（ii）如果α是个复数，但αEP，证明：对任何正整数n，（x一α)"都不是P上的多项式。证明：（i）：p(α)不可约，故p(）无重根，又因为i时(x)与(x）不同，：（()，())=1，即说明(x)与(x)无公根，因而f(）=().p(x）在复数域上无重根。(ii)(x-a)"=x"+c,x"-1(-a)++(-a)",11