(iii) f(x)+(-f(x))= 0.由（ii）可定义fi(x)+f(x)+.*+f.-1(x)+f.(x)=(f,(x)+..+f.-1(αx))+f.(x),这里n≥3.二、乘法定义f()，g(x)EP[x)，设f(x)=ax, g(x)=Eb,x,令 h(x)=(a.b.+a.-,b,+.+a.b,)x (a=0 (h>n),b,=0(I>m)），显然h(x)EP(x)，称h(x)为f(x)与g(x)的积，记为f(x) ·g(x)=( a,b, )x不难验证对于多项式的乘法具有下列性质：(i)f(x)g(x)=g(x)f(x)(ii ) (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));(iii)(f(x)+g(x))h(α)=f(x)h(x)+g(x)h(x);(iV）若f（αx），g(x)EP【x]，且全不为零，则f(x)g(x)+0,从而若f(x)h(x)=g(x)h(x)，且h(x)≠0，则f(x)=g(x).三、次数定义f()EP)，f()0，称f(x)中不为“0”2
的项的最高次数为该多项式的次数记为a°（f（x)），零多项式没有次数下面各式中出现的多项式均为非零多项式，如下性质成立：(i) a(f(x)±g(x))<max(o(f(x)), 0(g(x)));(ii)ao(f(x).g(x))=o(f(x))+d"(g(x))$2多项式的整除性一、整除及其性质定义设f()，g()EP)，若日q()EP，使得f(x)=q(x)g(x),称g(x)能整除f(x)，记为g(α)lf(），否则称g(×)不能整除f(x)，记为g(x)f(x).有下列性质：（i）任一多项式可整除零多项式：(ii）c、cf(x)均能整除f(x)，这里c为非零常数，(iii）若f(x)lg(x)，g(x)ih(x)，则f(α)/h(α);(iV)若f(x)lg(x)(i=1,2,，s），则u(x)EP(x)(i=1,2,",s),f(α)u:(x)g(x);有() f(x)lg(x),且g(x)lf(x)<f(x) =cg(x),c+ 0, cEP.二、带余除法定理2.1设f(x)EP(x），则对g(x)EP()，g(x）半0，3
日g(x)、r(α)EP(α)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)=0或者a°(r(α))<a°（g())，且这样的q(x)，r(α)由f(α)，g(α)唯一确定，分别称它们为商式与余式。推论设f()，g)EPx)，g()0，则g(x)lf()>r(x)=0.83多项式的最大公因式一、最大公因式定义设f(x），g(α)EP(α)，若有（i）d(α)为f(α)与g(x)的公因式（ii）f(x)与g(x)的任一个公因式都能整除d(x），称d(x）为f(x），g(α)的最大公因式定理3.1f(x)，g(x)EP(x)，必存在f(α）与g(x)的最大公因式d(x)EP[α)，且有u(x)，U(x)EP[x)，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)由最大公因式的定义可以知道，若d，（α），d，（α）同时为f(x)、g(x）的最大公因式时，则d,(x)ld,(x)，d,α)d,(x)，故有d,(x）=cd(x)，c≠0。这表明，两个多项式的最大公因式之间最多相差一个非零常数因子，f（α）、g(α）不全为零时，其最大公因式非零，我们把其中首项系数为1（简称首1）的最大公因式记为（f，g）。对于P(x)中m(m≥2）个多项式f(x)，f2(αx)，f（α)的最大公因式，我们完全可以象两个多项式的最大公4
因式那样去定义，并且可以得到同样的存在“唯一”性定理及表达定理。具体去求m个多项式的最大公因式，固然可以用转辗相除法，但是计算烦杂，我们将在第三章82中介绍利用矩阵及矩阵初等变换求最大公因式的简便方法.二、互素及其有关性质定义设f(x）、g(α)EP(x）若(f,g)=1,称f(x)与g(x)互素定理3.2f(x)、g(x)EP[x),则(f，g)=1<日u(x），U(x)EP(x)，使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1若f(x)=f,(x)(f,g)，g(x)=gi(x)(f,g),推论1则(f1, g.)= 1.若(g，f)=1，（g2，f)=1，则推论2(g192, f)=1.若f(x)lg.(x)g2(x)，且(f，g)=1，则推论3f(x)1g,(x)若f.(x)lg(x)，f2(x)/g(x)，且(f1,f2)=1,推论4则f.(x)f2(x)/g(x).84多项式的分解、不可约多项式及其性质定义设p(×)EP()且a(x))≥1，如果p(x）不能5
分解为P(×)中两个次数比p(α)低的多项式之积，称(α）在P上不可约，否则称p(α)在P上可约.命题1设(×)EP[),((x))≥1，则p)不可约<(x）只有形如c与cp(x）的因式，这里c+0，cEP.命题2若p(x）为P上的不可约多项式，则f(x)EPx)，或者plf，或者(p，f)=1命题3若p(x)为P上的不可约多项式，则对f(x), g(x)EP[α]).只要plfg，就必有pif或plg命题3若p(α)为P上不可约多项式，p(x)lf,(x).f.(x), s≥2,则日i使pα)lf(α)（1≤i≤s）.二、分解定理定理4.1设f(x)EP(x)，且a(f())≥1，则（i）f（α）必可分解为P上的有限个不可约多项式的乘积；(ii）如果f(x)=p(x)pz()..p(x)=q.(x)q2(x).q(x),其中p(x),q,(x)(i=1，2，，s，j=1,2,",t)为P上的不可约多项式，则s=t且适当调整因式的次序后有p(x)=ciqi(x),i=1,2,",s,其中c，（i=1，2，"，s）为P的非零常数。设f()EP(x)，a(f(x))≥1，若(1)f(x)=cpr(α)...p(x),6