泰勒中值定理： 若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有 直到n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时，有 f(x)=f()+f(xo)x-x)+(x-x+ 21 +f((x-+R,(x) ① n! 其中，9=“⑤ (n+1)！ x-)1(5在x,与x之间② 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 Oo▣⊙⊙8
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 R,(x)=o[(x-x)”] ③ 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为 f(x)=f(x)+f(oXx-x)+(x-x0+. 21 +f(x2x-x”+ox-x0)P] ④ n! 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺Peano)余项 *可以证明： f(x)在点xo有直到n阶的导数 >④式成立
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f0)=f0)+f(ox-0)+f"0x-x2+ 2 +fmx-,P+"9x-)m (n+1)！ 特例： (5在x,与x之间 (1)当n=0时，泰勒公式给出拉格朗日中值定理 f(x)=f(x)+f'(5)(x-x) (5在x0与x之间 (2)当n=1时，泰勒公式变为 f)=f0)+f0Xx-)+,56x- 可见f(x)≈f(xo)+f'(o)x-xo) 2在0与x之间 误差 R)-目x-P(传有wx之间 df Oooo⊙8 机无
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间 ) 0 ( 在x 与x之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在泰勒公式中若取x=0,5=0x(0<0<1),则有 0+0+9+0 n! +fam"0yx (n+1)川 称为麦克劳林(Maclaurin)公式. 由此得近似公式 fx)≈f0)+f0x+f'0x2++m0x 2! n! 若在公式成立的区间上fm(x)≤M,则有误差估计式 M R,(x)≤ +0 n+l
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 = = x 则有 f (0)+ f (0)x 2 + 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在x 与x之间 f (x) f (0) + f (0)x + ( ) , ( 1) f x M n + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M R x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式