E(一)当g(X)为严格单调时定理设X是连续随机变量，其概率密度为fx(x)Y=g(X)是另一个随机变量.若y=g(x)严格单调其反函数x=h(y)有连续导函数则Y=g(X)的概率密度为fx[h(y)]|h'(y)],a<y<b,fr(y) =-其他0,其中 a = min(g(-00), g(+0), b = max(g(-0),g(+0)沈阳师范大学
其中a g g b g g = − + = − + min( ( ), ( )), max( ( ), ( )). ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ), [ ( )] ( ) , , ( ) 0, . X X Y X f x Y g X y g x x h y Y g X f h y h y a y b f y = = = = = 设 是连续随机变量 其概率密度为 是另一个随机变量.若 严格单调, 其反函数 有连续导函数. 则 的概率密度为 其 理 他 定 (一)当 g X( ) 为严格单调时
中证明：不妨设g(x)是严格单调增函数,这时它的反函数h(y)也是严格单调增函数,且 h(y)>0.记α=g(-oo),b= g(+),这意味着y=g(x) 仅在区间(a,b)取值,于是当Ka时,F,(y)= P(Y≤y)=0;当y>b时,F()= P(Y≤y)=1;当a≤y≤bF(y)= P(Y≤y)= P(g(X)≤y)时,= P(X ≤h(y)) =[m) fx(x)dx由此得Y的概率密度为：(0)=[[l0)W0),a<<b其他0,同理可证当g(x)是严格单调减函数时，结论也成立.此时h(y)<0,故要加绝对值符号,这时α=g(+),沈阳师范堂g(-00)
[ ( )] ( ), ( ) 0, X Y f h y h y a y b f y = 其他 证明: ( ) ( ) 0; F y P Y y Y = = 不妨设 是严格单调增函数, 这时它的反函数 也是严格单调增函数, 且 . 记 g x( ) h y( ) ( ) ' h y 0 b g = + ( ), a g = − ( ), 这意味着 y g x = ( ) 仅在区间 ( , ) a b 取值,于是 当y<a时, ( ) ( ) 1; 当y>b时, F y P Y y Y = = 当 时, a y b F y P Y y P g X y Y ( ) = = ( ) ( ( ) ) = P X h y ( ( )) ( ) h y( ) X f x dx − = 同理可证当 是严格单调减函数时, 结论也成 立. 此时 , 故要加绝对值符号, 这时 g x( ) ( ) ' h y 0 a g = + ( ), b g = − ( ). 由此得Y的概率密度为: