第四章数字特征本章1.随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义内容随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算，2.3.几种重要分布的期望和方差，提要定义期望性质计算随机变量函数的数学期望的计算随机变量的数字特征定义方差本章性质知识计算结构定义体系协方差性质计算定义性质相关系数计算独立与不相关的关系重点随机变量的数字特征的定义和意义1.随机变量的数学期望的计算。2.分析难点随机变量函数的数学期望的计算。L.随机变量的相互独立与不相关的关系，2.分析
第四章 数字特征 本章 内容 提要 1． 随机变量的常用数字特征的定义、性质以及它们所刻画的意义． 2． 随机变量的数字特征的计算方法，随机变量函数的数学期望的计算． 3． 几种重要分布的期望和方差． 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1． 随机变量的数字特征的定义和意义． 2． 随机变量的数学期望的计算． 难点 分析 1． 随机变量函数的数学期望的计算． 2． 随机变量的相互独立与不相关的关系． 矩 方差 期望 随机变量函数的数学期望的计算 性质 计算 定义 性质 计算 定义 协方差 性质 计算 定义 相关系数 性质 计算 定义 独立与不相关的关系 随 机 变 量 的 数 字 特 征
第十六讲4.1数学期望本节数学期望的概念（计算）内容三、数学期望的性质提要教学目的理解数学期望的概念和性质，会计算随机变量及其函数的期望要求重点数学期望的概念、意义和性质难点随机变量函数的期望的计算学时2学时与主要数学期望的概念（计算）50分钟内容数学期望的性质30分钟时间小结及练习10分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结
第十六讲 4.1 数学期望 本节 内容 提要 一、数学期望的概念（计算） 三、数学期望的性质 教学 目的 要求 理解数学期望的概念和性质，会计算随机变量及其函数的期望 重点 数学期望的概念、意义和性质 难点 随机变量函数的期望的计算 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 数学期望的概念（计算）50 分钟 数学期望的性质 30 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结
教学过程附注引入随机变量的分布全面描述了随机变量的统计规律性。但在许多实际问题中，随机变量的分布不易求得。并且有时人们并不需要全面地考察随机变量的变化情况，而只对分布的几个特征指标感兴趣．例如，要评定不同地区水稻产量，一般只要比较平均产量就够了：再如检查一批学生成绩时，既需要注意学生的平均成绩，又需要注意学生成绩与平均成绩的偏离程度，平均成绩较高、偏离程度较小，教学质量就较好：从上面的例子可以看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征.本章将介绍随机变量的四个数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数，它们的总称为矩.本节来学习数学期望讲授新课先看一个例子：某班共有学生30人，在一次考试中（5分制），有10人的成绩为3分，15人的成绩为4分，5人的成绩为5分，则班级平均成绩为3×10+4×15+5×510155=3x= 3.5+4×+5X30303030从计算中可以看到，平均成绩并不是3，4，5这三个分数的简单的算术平3+4+5均：=4，而是以取得这些值的人数与班级总人数的比值（频率）为权重的3加权平均，频率在n很大时就稳定在其概率的附近，对随机变量，要计算它的平均值，也应该有权重。我们引入如下定义：、数学期望的定义1ZxPk，离散型k=lE(X):xf(x)dx，连续型(-00例1设X的分布列如下X-101P0. 30.60. 1求EX.解EX=ZPk=(-1)×0.3+0×0.6+1×0.1=-0.2k=l[2x,0≤x≤1例2随机变量X的密度函数为f(x)=求X的数学期望.其它，0,解EX-Jxf(x)dx=J'x2xdx=2
教学过程 附 注 引入 随机变量的分布全面描述了随机变量的统计规律性．但在许多实际问题中，随 机变量的分布不易求得．并且有时人们并不需要全面地考察随机变量的变化情况， 而只对分布的几个特征指标感兴趣．例如，要评定不同地区水稻产量，一般只要比 较平均产量就够了；再如检查一批学生成绩时，既需要注意学生的平均成绩，又需 要注意学生成绩与平均成绩的偏离程度，平均成绩较高、偏离程度较小，教学质量 就较好．从上面的例子可以看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描 述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征． 本章将介绍随机变量的四个数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数， 它们的总称为矩. 本节来学习数学期望. 讲授新课 先看一个例子: 某班共有学生 30 人，在一次考试中（5 分制），有 10 人的成绩 为 3 分，15 人的成绩为 4 分，5 人的成绩为 5 分，则班级平均成绩为 3 10 4 15 5 5 10 15 5 3 4 5 3.5 30 30 30 30 从计算中可以看到，平均成绩并不是 3，4，5 这三个分数的简单的算术平 均: 345 4 3 + + = ,而是以取得这些值的人数与班级总人数的比值（频率）为权重的 加权平均，频率在 n 很大时就稳定在其概率的附近． 对随机变量，要计算它的平均值，也应该有权重．我们引入如下定义： 一、数学期望的定义 1 , ( ) ( ) n k k k x p E X xf x dx = + − = 离散型 ，连续型 例 1 设 X 的分布列如下 X −1 0 1 P 0．3 0．6 0．1 求 EX ． 解 1 ( 1) 0.3 0 0.6 1 0.1 0.2 k k k EX x p = = = − + + = − 例 2 随机变量 X 的密度函数为 = 0, 其它 2 , 0 1 ( ) x x f x ，求 X 的数学期望． 解 3 2 ( ) 2 1 0 = = = + − EX x f x dx x xdx
教学过程附注之g(x)Ppe，离散型i=E(g(X)) :J g(x)f(x)dx,连续型例3对于例1中的分布求EX?、EX|、E(3X-2)解EX?=ZxP=(-1)×0.3+02×0.6+12×0.1=0.4k=lE|X=2xCx|P=-1|×0.3+0×0.6+×0.1=0.4E(3X-2)=Z(3xx -2)Pkk=l=[3×(-1)-2×0.3+(3×0-2)x0.6+(3×1-2)×0.1=-2.6注EX?的求法还可以先求出X?的分布列，再由期望的定义计算得到E(3X-2)的求法，在学习了期望的性质后，可以利用期望的性质计算得到.读者可以对比哪种方法更简便？例4对于例2中的分布求EX?['x2.2xdx=解EX?=x"f(x)dx=[推广到两个或两个以上随机变量的情形，ZZG(x,y)p(X,Y)为离散型;E[G(X,Y)I=JG(x,)f(x,y)dxdy,(X,Y)为连续型。例5设二维随机变量（X，Y)的概率分布为.Y0123X103/83/8031/8001/8求E(XY)解
教学过程 附 注 1 ( ) (g(X)) ( ) ( ) , n k k i g x p E g x f x dx = + − = ，离散型 连续型 例 3 对于例 1 中的分布求 2 EX 、 E X 、 E X (3 2) − ． 解 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0.3 0 0.6 1 0.1 0.4 k k k EX x p = = = − + + = 1 1 0.3 0 0.6 1 0.1 0.4 k k k E X x p = = = − + + = 1 (3 2) (3 2) k k k E X x p = − = − = − − + − + − = − [3 ( 1) 2] 0.3 (3 0 2) 0.6 (3 1 2) 0.1 2.6 注 2 EX 的求法还可以先求出 2 X 的分布列，再由期望的定义计算得 到． E X (3 2) − 的求法，在学习了期望的性质后，可以利用期望的性质计算得到．读 者可以对比哪种方法更简便？ 例 4 对于例 2 中的分布求 2 EX ． 解 2 1 ( ) 2 1 0 2 2 2 = = = + − EX x f x dx x xdx 推广到两个或两个以上随机变量的情形． = + + － － ， 为连续型。 ， 为离散型； ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , )] G x y f x y dxdy X Y G x y p X Y E G X Y i j i j i j 例 5 设二维随机变量 (X ，Y) 的概率分布为 Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 求 E XY ( ) 解
教学过程附注2.3+1x2xE(XY) =>Zxy/-p,=l×0×0+1x1x88i=l j=l19+1×3×0+3×0×==+3×1×0+3×2×0+3×3x848例6设二维随机变量(X,Y)在矩形区域D:0<x<1,0<y<1上服从均匀分布， 求E(X),E(Y),E(XY).解(X,Y)的概率密度为[1,0<x<1, 0<y<1f(x,y)=[0,其它由定理2得E(X)= (x,y)dxd=Jxdx'dy=E()(,ddy a-E()=(,)ddy=xl'=注E(X),E(Y)的求法还可以先求出X和Y的边缘密度函数，再由期望的定义计算得到．可以对比哪种方法更简便？二、数学期望的性质1.设c是常数，则有E(c)=c.2．设X是随机变量，设c是常数，则有E(cX)=cE(X).3.设X，Y是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+EY)：该性质可推广到有限个随机变量之和的情况，即E(X+X+X.)--ZEX,.i=l4.设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X)E（Y）该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若X，X，",X，相互独立，[EX,E(X,X,.X,):
教学过程 附 注 2 4 1 j 1 3 3 ( ) 1 0 0 1 1 1 2 8 8 i i ij i E XY x y p = = = = + + 1 1 9 1 3 0 3 0 3 1 0 3 2 0 3 3 8 8 4 + + + + + = 例 6 设二维随机变量 (X,Y) 在矩形区域 D x y : 0 1,0 1 上服从均匀 分布，求 E X E Y E XY ( ), ( ), ( )． 解 (X,Y) 的概率密度为 1 0 1 0 1 ( , ) 0 x y f x y = 其它 ， ， ， 由定理 2 得 1 1 0 0 1 ( ) ( , ) 2 E X xf x y dxdy xdx dy + + − − = = = 1 1 0 0 1 ( ) ( , ) 2 E Y yf x y dxdy dx ydy + + − − = = = 1 1 0 0 1 ( ) ( , ) 4 E XY xyf x y dxdy xdx ydy + + − − = = = 注 E X E Y ( ), ( ) 的求法还可以先求出 X 和 Y 的边缘密度函数，再由期望的定 义计算得到．可以对比哪种方法更简便？ 二、数学期望的性质 1． 设 c 是常数，则有 E(c) = c ． 2． 设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E(cX) = cE(X ) ． 3． 设 X ，Y 是随机变量，则有 E(X + Y) = E(X ) + E(Y) ． 该性质可推广到有限个随机变量之和的情况，即 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = + + + = ． 4． 设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X )E(Y) ． 该性质可推广到有限个随机变量之积的情况，即若 1 2 , , , X X X n 相互独立， 则 1 2 1 ( ) n n i i E X X X EX = = ．