沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程授课教案（讲义）第五章 大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理本章切比雪夫不等式1.内容2.三个大数定律3.两个中心极限定理提要依概率收敛切比雪夫大数定律大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律大数定律与中心极限定理本章知识林德伯格一列维中心极限定理结构中心极限定理棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理体系用切比雪夫不等式估算概率概率计算用中心极限定理近似计算概率重点各大数定律、中心极限定理的内容和应用。1.2.正态分布在近似计算中的应用。分析难点大数定律，中心极限定理的条件和应用。分析

第五章 大数定律与中心极限定理 本章 内容 提要 1． 切比雪夫不等式 2． 三个大数定律 3． 两个中心极限定理 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1. 各大数定律、 中心极限定理的内容和应用。 2. 正态分布在近似计算中的应用。 难点 分析 大数定律, 中心极限定理的条件和应用。 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 理 大数定律 依概率收敛 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律 中心极限定理 林德伯格－列维中心极限定理 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 概率计算 用切比雪夫不等式估算概率 用中心极限定理近似计算概率

第十九讲5.1大数定律本节一、切比雪夫不等式内容二、三个大数定律一一切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律提要教学目的了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律要求重点大数定律的内容和应用难点大数定律的条件和应用学时2学时与主要切比雪夫不等式15分钟内容三个大数定律65分钟时间小结及练习10分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学经验总结

第十九讲 5.1 大数定律 本节 内容 提要 一、切比雪夫不等式 二、三个大数定律——切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 教学 目的 要求 了解切比雪夫不等式， 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律 重点 大数定律的内容和应用 难点 大数定律的条件和应用 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 切比雪夫不等式 15 分钟 三个大数定律 65 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结

教学过程附 注引入人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定于一个确定的常数；对某个随机变量X进行大量的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性。由于这类稳定性都是在对随机现象进行大量重复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的定理就统称为大数定律在引入大数定律之前，我们先介绍一个重要的不等式一一切比雪夫不等式讲授新课设随机变量X的期望和方差均存在，则对任意ε>0，一、切比雪夫不等式有P(X-EX)≥6)≤ DY(1. 1)6等价形式为P(X-EXI<6)≥>1-DX(1. 2)6证明（仅证明X是连续型随机变量的情形）设X的概率密度函数为f(x)，则对任意ε>0,有P(IX-EX|≥8)=[f(x)dx[x-EX|≥8≤ (μ-EX)?f(x)dx2Ix-EX|≥6DX(r-EX)f(x)dx = -2切比雪夫不等式在理论上具有重要意义.它不但使大数定律的证明变得十分简练，同时也阐明了方差DX的本质.由切比雪夫不等式可以看出：DX越小，随机变量X取值于开区间（EX-6EX+ε)的概率就越大，这说明方差是一个反映随机变量的取值对其分布中心EX的集中程度的数量指标含义：对离散的、连续的随机变量都成立，连续的场合两个尾部概率之和有一个上界，与8,DX有关应用：对于方差存在的随机变量X，在其分布未知的情况下，我们还可以利用切比雪夫不等式粗略地估算X在以数学期望为中心的对称区间上的概率P(IX-EXKs).例1设随机变量X的数学期望EX=10，方差DX=0.04,利用切比雪夫不等式估计P9.2<X<11)的大小。解

教学过程 附 注 引入 人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次 数的增多，事件发生的频率将稳定于一个确定的常数；对某个随机变量 X 进行大量 的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性.由于这类稳定性 都是在对随机现象进行大量重复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的 定理就统称为大数定律. 在引入大数定律之前，我们先介绍一个重要的不等式——切比雪夫不等式. 讲授新课 一、切比雪夫不等式 设随机变量 X 的期望和方差均存在,则对任意   0 , 有   2 DX P X EX   −   (1.1) 等价形式为   2 1 DX P X EX   −   − (1.2) 证明 (仅证明 X 是连续型随机变量的情形) 设 X 的概率密度函数为 f (x) ,则对任意   0 ,有 P X EX  −    =  x−EX  f (x)dx  −  −    x EX f x dx x EX ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) DX x EX f x dx   + −  − =  . 切比雪夫不等式在理论上具有重要意义.它不但使大数定律的证明变得十分简 练,同时也阐明了方差 DX 的本质.由切比雪夫不等式可以看出： DX 越小，随机变 量 X 取值于开区间 ( , ) EX EX − +   的概率就越大，这说明方差是一个反映随机变 量的取值对其分布中心 EX 的集中程度的数量指标. 含义：对离散的、连续的随机变量都成立，连续的场合两个尾部概率之和有一 个上界，与  , DX 有关. 应用：对于方差存在的随机变量 X ，在其分布未知的情况下，我们还可以利用 切比雪夫不等式粗略地估算 X 在以数学期望为中心的对称区间上的概率 P X EX {| | } −   . 例 1 设随机变量 X 的数学期望 EX =10 ，方差 DX = 0.04, 利用切比雪夫不 等式估计 P X  9.2 11    的大小。 解

附 注教学过程P[ 9.2<X<11)= P/ -0.8<X-10<1)≥P(IX-10]<0.8)≥1- 004=0.9375(0.8)因而P/9.2<X<11)不会小于0.9375二、三个大数定律定义1设Y,Y,…Y,，…是一个随机变量序列，a为常数.若对任意ε>0，有注：依概率收敛与高数中的收敛不lim P([,-a<)=1同在于它具有某种不确定性，弱于高数则称随机变量序列(,依概率收敛于a，记作YP>a中的收敛。1.定理1（（切比雪夫大数定律）设X,X,，,X是一个两两不相关的随机变量序列.若每个X,的方差都存在，且有共同的上界，即存在某一常数c>O，使DX, ≤c (i=1,2,..)则对任意ε>0，都有[2x,-2Ex,</=1limP1→00n台n=注切比雪夫大数定律只要求（(X，）两两不相关，并不要求它们是同分布的.如果（X，）是独立同分布的随机变量序列且方差有限，则(X，必定服从大数定律切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个随机变量的算术平均-X，依概率收敛于其期望的算术平均值-EX，n=ni=l17意义：从理论上肯定了取均值的合理性，是对当n→80时，ZEX,具有稳ni=l定性的解释。应用：对于满足定理条件的随机变量序列，我们可以用它的算术平均作为对其期望平均值的一种估计.定理2（伯努利大数定律）设n，是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p（0<p<1)是事件A在每次试验中发生的概率.则对任意ε>0,有

教学过程 附 注       2 9.2 11 0.8 10 1 0.04 10 0.8 1 0.9375. (0.8) P X P X P X   = −  −   −   − = 因而 P X  9.2 11    不会小于 0.9375. 二、三个大数定律 定义 1 设 Y1 ,Y2 , Yn ,  是一个随机变量序列, a 为常数.若对任意   0 , 有 lim 1  n  n P Y a  → −  = 则称随机变量序列 Yn  依概率收敛于 a ,记作 Y a P n ⎯→ . 1.定理 1 (切比雪夫大数定律) 设 X1 , X 2 ,  , X n ,  是一个两两不相关的随 机变量序列.若每个 Xi 的方差都存在,且有共同的上界,即存在某一常数 c  0 ,使 DX c i  ( i =1,2, ) 则对任意   0 ,都有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     注 切比雪夫大数定律只要求 X n  两两不相关,并不要求它们是同分布的.如 果 X n  是独立同分布的随机变量序列且方差有限,则 X n  必定服从大数定律. 切比雪夫大数定律说明:在定理的条件下,当 n 充分大时, n 个随机变量的算 术平均 = n i Xi n 1 1 依概率收敛于其期望的算术平均值 = n i EXi n 1 1 . 意义：从理论上肯定了取均值的合理性，是对当 n → 时， = n i EXi n 1 1 具有稳 定性的解释。 应用：对于满足定理条件的随机变量序列,我们可以用它的算术平均作为对其 期望平均值的一种估计. 定理 2(伯努利大数定律) 设 nA 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次 数, p (0 1)   p 是事件 A 在每次试验中发生的概率.则对任意   0 ,有 注：依概率收敛 与高数中的收敛不 同在于它具有某种 不确定性，弱于高数 中的收敛

教学过程附 注limP-伯努利大数定律，是1，在第i次试验中事件A发生证明令X，i=1,2,...,n.[0，在第次试验中事件A不发生最早的一个大数定律，由伯努利1713X,，其中X,X,,…X,相互独立,且都服从参数为p的(0-1)分显然，n=年证明的。i=l布..1DX= p(1-p)≤所以i=1,2,..,n.EX =p,X由切比雪夫大数定律，有17x-1EX<6limP02ni-limP"4依概率收敛于事件伯努利大数定律表明随着n的增大，事件A发生的频率nA的概率p.也就是说，当n很大时,事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。因此，当试验次数n很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件的概率，我们已经知道，一个随机变量的方差存在，则其数学期望必定存在，但反之不成立.上述两个大数定律均要求随机变量序列X，的方差存在.以下的辛钦大数定律去掉了这一要求，仅设每个X,的数学期望存在，但(X，需是独立同分布的随机变量序列.定理3（辛钦大数定律）设X,X,，…,X，，是一个独立同分布的随机变量序列.若数学期望EX,=μ(i=1,2,)存在，则对任意ε>0,有Zx,-μ<8=1limP1→00nil辛钦大数定律意义：（1）从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性，(2）（对随机变量X独立重复地观察n次，记第i次观察值为X，，则X,X,,X，是相互独立的，且均与X同分布.因此，在EX存在的条件下，按照

教学过程 附 注 lim 1 A n n P p n  →     −  =   证明 令    = ， 在第 次试验中事件 不发生 在第 次试验中事件 发生 i A i A Xi 0 1, i = 1,2,  ,n . 显然, = = n i nA Xi 1 ,其中 X X Xn , , 1 2 相互独立,且都服从参数为 p 的 (0 −1) 分 布. 所以 EXi = p , 4 1 DX i = p(1− p)  , i = 1,2,  ,n . 由切比雪夫大数定律,有 1 1 1 1 lim n n i i n i i P X EX n n  → = =     −      = lim 1 A n n P p n  →     −  =   . 伯努利大数定律表明:随着 n 的增大,事件 A 发生的频率 n nA 依概率收敛于事件 A 的概率 p .也就是说,当 n 很大时,事件 A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性 很小。因此，当试验次数 n 很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件 的概率. 我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在,但反之不成 立.上述两个大数定律均要求随机变量序列 X n  的方差存在.以下的辛钦大数定律 去掉了这一要求,仅设每个 Xi 的数学期望存在,但 X n  需是独立同分布的随机变 量序列. 定理 3(辛钦大数定律) 设 X1 , X 2 ,  , X n ,  是一个独立同分布的随机变量 序列.若数学期望 EX = (i = 1,2, ) i  存在, 则对任意   0 ,有 1 1 lim 1 n i n i P X n   → =     −  =    辛钦大数定律意义： （1）从理论上肯定了用算术平均值来估计期望值的合理性. (2)（ 对 随机 变 量 X 独 立重 复 地观 察 n 次 ,记 第 i 次 观 察 值为 Xi , 则 X X X n , , , 1 2  是相互独立的,且均与 X 同分布.因此,在 EX 存在的条件下,按照 伯努利大数定律，是 最早的一个大数定 律，由伯努利 1713 年证明的