在运算时,可以采用与第一类换元积分法方向相反的步骤: ∫f(x)dx=∫fo)0()=Jf(o)o(d =F(t)+C=F(-(x)+C。 这个方法称为第二类换元积分法
在运算时，可以采用与第一类换元积分法方向相反的步骤： f x x ( ) d = ( = f t t ( ( )) ) d f t t t ( ( )) ) ( d = + = F t C ( ) F x + C − ( ( )) ~ 1 。 这个方法称为第二类换元积分法
例627求∫a-xdx 解为了去掉根号,令x=0(1)= a sin t(“≤1≤“),于是 a'-x=acost, dx= a cos td t a-x dx=a cos tdt=af(+cos 2n)dt 2t C (用t=q-(x)= arc sin-代回) x√a2-x2+- arc sin-+C
例 6.2.7 求 2 2 a x x − d 。 解 为了去掉根号，令 x = (t) = a sin t π π ( ) 2 2 − t ，于是 2 2 a x a t − = cos ，d cos d x a t t = ， 2 2 2 2 a x x a t t − = cos d d 2 (1 cos 2 ) 2 a = + t t d C t t a + = + 2 sin 2 2 2 （用 t x x a = = − 1 ( ) arc sin 代回） = − + 1 2 2 2 x a x a x a C 2 2 arc sin +
例62.8求「 和 ax x+a 解对于「 lx ,令x=(1)=ast,其中t的变化范围可以这 样确定:当x>0时,(2):当x<时,12 于是 Nx-a-atant, dx=tant sectdt ∫ sec tdt=hlse+tna+C x -a 用set=和tant=sec2t-1 代回,由于C-ha仍然是一个任 意常数,因此 dx x+√x +C hn|x+√x Ina+C I+C
例 6.2.8 求 2 2 x x a − d 和 2 2 x x a + d 。 解 对于 2 2 x x a − d ，令x = (t) = a sec t ，其中t 的变化范围可以这 样确定：当x a 时， π 0, 2 t ；当x a − 时， 3 π, π 2 t 。于是 2 2 x a a t − = tan ，d d x a t t t = tan sec ， 2 2 x x a − d = sec t t d = ln|sec t + tan t|+ C 。 用 a x sec t = 和 a x a t t 2 2 2 tan sec 1 − = − = 代回，由于C − ln a仍然是一个任 意常数，因此 2 2 x x a − d C a x x a + + − = 2 2 ln = ln| x + x − a |− lna + C 2 2 = ln | x + x 2 − a 2 | + C
类似地可求得 lnx+√x2+a2|+C。 x t a 若被积函数中含有诸如a2-x2,√x2-a2,√x2+a2这样形式的 根式,可以分别考虑将变换取为x= asin t,x= a sec t和x= a tant以化去 根号
类似地可求得 2 2 x x a + d = ln | x + x 2 + a 2 | + C 。 若被积函数中含有诸如 a x 2 2 − ， x a 2 2 − ， x a 2 2 + 这样形式的 根式，可以分别考虑将变换取为x = a sin t ，x = asect 和x = a tant 以化去 根号