例7.4.6求三叶玫瑰线r=asin3O, ∈[0,r](图7.4.10)所围区域的面积。 图7.4.10
例 7.4.6 求三叶玫瑰线r a = sin 3θ ， θ ∈[0, π] (图 7.4.10)所围区域的面积
例7.4.6求三叶玫瑰线r=asin3O, ∈[0,r](图7.4.10)所围区域的面积。 解由对称性,我们只求半叶“玫瑰”的 面积,这时的变化范围是0,x。 C S=6 sin 30d8 Ta2 =a2lsin20u-4° 图7.4.10
解 由对称性，我们只求半叶“玫瑰”的 面积，这时θ 的变化范围是 π 0, 6 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 。 π 6 2 2 0 6 sin 3 d 2 a S = ⋅ θ θ ∫ π 2 2 2 0 = a sin dϕ ϕ ∫ = πa2 4 。 例 7.4.6 求三叶玫瑰线r a = sin 3θ ， θ ∈[0, π] (图 7.4.10)所围区域的面积
求曲线的弧长 首先来定义什么叫一段曲线的弧y 长 设平面曲线的参数方程为 x=x(t y=y(t), t∈[71,T2], 对区间[1,写2作如下划分 7=1<1<l2<…<tn=72, 于是便得到这条曲线上顺次排列的 n+1个点P,B,…,Pn,P=(x(1),y(t), x 用PP表示连接点P1和P的直线段的 长度,那么相应的折线的长度可以表示 图74.1 为∑P1P。 i=1
求曲线的弧长 首先来定义什么叫一段曲线的弧 长。 设平面曲线的参数方程为 x xt y yt t TT = = ⎧⎨⎩ ∈ ( ), ( ), [, ] 1 2 ， 对区间[, ] T T 1 2 作如下划分： Tt tt t T 1012 = < < <"< n = 2， 于是便得到这条曲线上顺次排列的 n +1个点 PP P 0 1 n ,,, " ， P xt yt i ii = ( ( ), ( )) ， 用 P P i i −1 表示连接点 P P i i −1 和 的直线段的 长度，那么相应的折线的长度可以表示 为 P P i i i n − = ∑ 1 1 。 y x P0 P1 P2 P3 P4 P Pi i-1 Pn Pn-1 … … 图7.4.11
若当x=max(M)→0时,极限m∑PP存在,且极限值与区间[1,】]的 入→0 划分无关,则称这条曲线是可求长的,并将此极限值 l=lim∑ λ→0 称为该条曲线的弧长。 我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率π,用 的也正是这样的思想方法
若当λ = → ≤ ≤ max( ) 1 0 i n i Δt 时，极限limλ→ − =∑0 1 1 P P i i i n 存在，且极限值与区间[ ] 21 ,TT 的 划分无关，则称这条曲线是可求长的，并将此极限值 l PP i i i n = → − = lim ∑ λ 0 1 1 称为该条曲线的弧长。 我国古代数学家刘徽、祖冲之等人用“割圆术”求圆周率π ，用 的也正是这样的思想方法
讨论 P=Vx()-x(t1)2+[y(t)=y(1)2 若x(1)和y(1)在[T,2]上连续,在(T,T2)上可导,则由 Lagrange中值定 理,存在n和a属于(t,t1),成立 x(1)-x(t-1)=x()1,y(t)-y(t1)=y(1)t1, 于是 ∑PP=∑Ⅵx(m)+[y(o, 由于n和a一般不会相同,上式还不是 Riemann和 ∑x(5)+y(5)2 ∈t 的形式,但两者已相当接近了。这提示我们,很有可能弧长正是这 Riemann和的极限值
讨论： −1PP ii = − +− − − [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] xt xt yt yt ii ii 1 2 1 2 ， 若x t( )和 y t( )在[, ] T T 1 2 上连续，在(, ) T T 1 2 上可导，则由 Lagrange 中值定 理，存在ηi和σ i属于( ,) t t i t −1 ，成立 xt xt i i () ( ) − −1 = ii ′ η )( Δtx ， yt yt i i () ( ) − −1 = ii ′ σ )( Δty ， 于是 P P i i i n − = ∑ 1 1 ∑ = = ′ + ′ ⋅ n i i i i tyx 1 2 2 η )]([)]([ Δσ 。 由于ηi 和σ i 一般不会相同，上式还不是 Riemann 和 ∑ = ′ + ′ ⋅ n i i i i tyx 1 2 2 )]([)]([ Δξξ ， ],[ 1 tii tt ξ ∈ − 的形式，但两者已相当接近了。这提示我们，很有可能弧长l 正是这 一 Riemann 和的极限值