下面来求极坐标下的面积公式 设曲线的极坐标方程r=r(6)是区间[a,B上的连续函数(B-a≤2m), 求由两条极径=a、=B与r=r(0)围成的图形的面积S
下面来求极坐标下的面积公式。 设曲线的极坐标方程 = rr θ )( 是区间 α β],[ 上的连续函数( β − α ≤ 2 π )， 求由两条极径 θ = α 、 θ = β 与 = rr θ )( 围成的图形的面积 S
下面来求极坐标下的面积公式 设曲线的极坐标方程r=r(6)是区间[a,B上的连续函数(B-a≤2m), 求由两条极径=a、=B与r=r(0)围成的图形的面积S 在(a,月中取一系列的分点e,满 足 0=B a=6<61<62<…<bn=B 记AO=0-1,在每个[1,]上任取 r() 点5,用半径为r()、圆心角为A0 6=6-1 的小扇形的面积r2(5)A1近似代替相 应的小曲边扇形的面积(图7.4.8), 那么 S≈∑r2(5)8, 图74.8
下面来求极坐标下的面积公式。 设曲线的极坐标方程 = rr θ )( 是区间 α β],[ 上的连续函数( β − α ≤ 2 π )， 求由两条极径 θ = α 、 θ = β 与 = rr θ )( 围成的图形的面积 S 。 在[, ] α β 中取一系列的分点 θ i，满 足 α θ <= θ < θ 210 < " < θ n = β 记 Δθ =θ − θ iii −1，在每个 1 [ ,] θi i − θ 上任取 一点 ξ i ，用半径为 )( i r ξ 、圆心角为 Δθ i 的小扇形的面积 ii r )( θΔξ 2 2 1 近似代替相 应的小曲边扇形的面积(图 7.4.8)， 那么 ∑= ≈ n i ii rS 1 2 )( 2 1 θΔξ
因为r=r(O)在,中连续,所以r2(0)在[a,月上可积。令小扇形的圆 心角的最大值x=max(A0,)→>0,即有 s=lim∑r2(5)0 (6)d 这就是极坐标下的面积公式。 0=B () 6=6, 图74.8
因为 = rr θ )( 在 α β],[ 中连续，所以 )( 2 2 1 r θ 在 α β ],[ 上可积。令小扇形的圆 心角的最大值 0)(max 1 = → ≤≤ i ni λ Δθ ，即有 = ∑ = = → n i ii S r 1 2 0 )(lim 2 1 θΔξ λ 1 2 ( )d 2 r β α θ θ ∫ ， 这就是极坐标下的面积公式
例7.4.5求双曲螺线r=a当从 变到2兀+时极径r扫过的面积(图7.4.9)。 图7.4.9
例 7.4.5 求双曲螺线r a θ = 当θ 从 π4 变到2 4 π π + 时极径 r 扫过的面积(图 7.4.9)
例7.4.5求双曲螺线r=a当从 变到2兀+时极径r扫过的面积(图7.4.9)。 解直接用极坐标下的求面积公式, 16 de 图7.4.9
解 直接用极坐标下的求面积公式， 2 9π 4 2 π 4 1 d 2 a S θ θ = ∫ 9π 4 2 π 4 1 2 a θ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 16 9 π a = 。 例 7.4.5 求双曲螺线r a θ = 当 θ 从 π 4 变到 2 4 π π + 时极径 r 扫过的面积(图 7.4.9)