1-a L 11.求解积分方程y=e+∫y(t)dt(1) 解：（1)试两边对x求导：y'=e*+y(2)方程(2) 为一阶非齐次线性方程，且用(1)知y(0)=1因而 问题转化为求方程(2)满足初始条件y0)=的解，此解为 y-d"ISeeS"d+M-e(x+D 12.设函数p(t)与-o<T<+oo上连续，0'(0)存在 且满足关系试p(t+s)=p(t)p(s)试求此函数. 首页 上页 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 1 x a cx a a = + − − (2) (2) x （1）试两边对x y e y 求导： = + 方程 为一阶非齐次线性方程，且用(1)知y(0) 1 = 因而 问题转化为求方程(2)满足初始条件y(0) 1 = 的解，此解为 1 0 1 0 [ 1] ( 1) dx dx x x y e e e dx e x − = + = + 0 11. ( ) x x y e y t dt = + 求解积分方程 (1) - 0 ( ) ( ) ( ) t t s t s + + = 12.设函数（ ）与 上连续， （ ）存在 且满足关系试 试求此函数. 解:
解：p(t+s)=p(t)p(s) (1) 在(1)试中，令s=t,得(2t)=p2(t)(2) 在(2)试中令t=0,得p(0)=p2(0),从而p(0)=0 或p(0)=1固定(1)试中的t,两端对s求导： dp(t+s=p'(s).p()(3) d(t+s) 在(3)试中令s=0得 dp(0=p'(0)p(t) (4) dt 解(4)得lnpl=p'(O)t+c 由p(0)=1得c=0于是 o(t)=e(o (p(0)=0不合题意，舍去) 首页 上页 返回 下而 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ( ) ( ) ( ) (1) t s t s + = 在(1) , 试中，令s t = ( ) (2) t 得 2 (2t)= 2 在(2) 0, (0) (0), 试中令t = = 得 从而(0) 0 = 或 (0)=1 固定(1)试中的t, ( ) ( ). ( ) (3) ( ) d t s s t d t s + = + ( ) (3) 0 (0) ( ) (4) d t s t dt 在 试中令 = = 得 解(4) ln (0) 得 = + t c 两端对s求导： (0) (0) 1 0 ( ) t c t e 由 = = = 得 于是 ( (0) 0 ) = 不合题意，舍去 解:
练习： ,求解下列微分方程： (1)(1+y2)(e2c-e'y)-(1+y)=0 解：将方程改写为 (1+y2)e2x-[(1+y2)e'+(1+y)=0 e2*x-le++21= 积分得通解 e2x=ex+arctgy+In(1+y2)+c 首页 上页 返回 下页 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 练习: 一，求解下列微分方程： 2 2 （1）(1 )( ) (1 ) 0 x y + − − + = y e dx e dy y dy 解：将方程改写为 2 2 2 (1 ) [(1 ) (1 )] 0 x y + − + + + = y e dx y e y dy 2 2 1 [ ] 0 1 x y y e dx e dy y + − + = + 积分得通解 1 1 2 2 ln(1 ) x y e e arctgy y c x x = + + + +
+y (2) dx 2=p(x) dx (p(x)是x的已知函数) 解：这是标准的线性方程，有常数变易公式得 =en职小图+刘 x)o)cl d -e p(x)de+c] =e[p(x)e)-」edp(x)+c(分部积分) =e[(p(x)-1)e)+c] =ce9(x)+o(x)-1 首页 返回 下万 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 [ ( ) ] d d dx dx dx dx d y e x e dx c dx − = + ( ( ) x x 是 的已知函数） 解：这是标准的线性方程，有常数变易公式得 (2) ( ) dy d d y x dx dx dx + = ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] x x d x e x e dx c dx − = + ( ) ( ) [ ( ) ] x x e x de c − = + ( ) ( ) 1 x ce x − = + − ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] x x x e x e e d x c − = − + ( ) ( ) [( ( ) 1) ] x x e x e c − = − + (分部积分）
(3)(1+x2)sin2y +xc0s2y+2xW1+x2=0 dx 解法一：方程可改写为 (xcos2y+2x1+x2)dx+(1+x2)sin2ydy=0 M(x,y)=xcos2y+2xv1+x2,N(x,y)=(1+x2)sin2y M=-2 xcosysiny ON=2xsin2y,不是恰当方程.因为 a Ox aM aN ay =-3xsin2y 3x (1+x2)sin2y 1+x2 积分因子(x)=e (1+x2)为 方程两边乘(1+x2)2得 2x 1+cos+土2匹+如2w=0 W1+x2 此方程为恰当方程，故通解为 a+os+子g+ x 2x dy=c 首页 上页 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 2 2 ( cos 2 1 ) (1 )sin 2 0 x y x x dx x ydy + + + + = 2 cos sin 2 sin 2 M N x y y x y y x = − = 解法一 ：方程可改写为 2 2 2 (3) (1 )sin 2 cos 2 1 0 dy x y x y x x dx + + + + = 2 2 2 M x y x y x x N x y x y ( , ) cos 2 1 , ( , ) (1 )sin 2 = + + = + ,不是恰当方程。因为 M N y x N − 2 2 3 sin 2 3 (1 )sin 2 1 x y x x y x − = = − + + 2 3 2 3 1 2 1 ( ) (1 ) x dx x x e x − + = = + 积分因子 3 2 2 (1 ) x − 方程两边乘 + 得 3 2 2 2 2 2 2 sin 2 ( cos ) 0 (1 ) 1 1 x x y y dx dy x x x + + = + + + 3 2 2 2 2 0 0 2 sin 2 [ cos ] (1 ) 1 1 0 x y x x y y dx dy c x x + + = + + + 此方程为恰当方程,故通解为